Problemele sunt grupate pe cele trei niveluri din „Ce trebuie să știu pentru test”. La fiecare problemă realizează un desen și scrie de fiecare dată proprietatea pe care o folosești.
Nivel de bază
-
Patrulaterul convex $ABCD$ are $\sphericalangle A = 75{^\circ}$ și $\sphericalangle B = 105{^\circ}$, iar unghiul $C$ are cu $20{^\circ}$ mai mult decât unghiul $D$. Aflați măsurile unghiurilor $C$ și $D$.
-
În figura de mai jos, $ABCD$ este paralelogram, $AC \cap BD = \{ O\}$, $AB = 9\text{ cm}$, $AD = 7\text{ cm}$, $\sphericalangle DAB = 58{^\circ}$, $AO = 7\text{ cm}$ și $OD = 4\text{ cm}$. Folosind datele din figură, scrieți în căsuță A dacă afirmația este adevărată sau F dacă este falsă.
Afirmația A / F a) $CD = 9\text{ cm}$ b) $BC = 9\text{ cm}$ c) $P_{ABCD} = 16\text{ cm}$ d) $\sphericalangle BCD = 58{^\circ}$ e) $\sphericalangle ABC = 58{^\circ}$ f) $OB = 4\text{ cm}$ g) $AC = 14\text{ cm}$ h) $AC = BD$ -
Diagonalele patrulaterului convex $ABCD$ se intersectează în punctul $O$. Stabiliți, în fiecare caz, dacă $ABCD$ este paralelogram și justificați răspunsul.
a) $OA = OC = 5\text{ cm}$ și $OB = OD = 3\text{ cm}$;
b) $OA = OC = 5\text{ cm}$, $OB = 3\text{ cm}$ și $OD = 4\text{ cm}$.
c) În cazul de la punctul a), știind că $AB = 7\text{ cm}$, aflați lungimea laturii $CD$.
-
În triunghiul $ABC$, punctele $M$ și $N$ sunt mijloacele laturilor $AB$, respectiv $AC$.
a) Dacă $MN = 4,5\text{ cm}$, calculați lungimea laturii $BC$. Ce poziție au dreptele $MN$ și $BC$?
b) Dacă $MN + BC = 18\text{ cm}$, calculați lungimile segmentelor $MN$ și $BC$.
Nivel consolidat
-
Măsurile unghiurilor $A$, $B$, $C$ și $D$ ale patrulaterului convex $ABCD$ sunt direct proporționale cu numerele $4$, $5$, $4$, respectiv $5$.
a) Determinați măsurile unghiurilor patrulaterului.
b) Demonstrați că patrulaterul $ABCD$ este paralelogram.
-
Perimetrul paralelogramului $ABCD$ este egal cu $48\text{ cm}$, iar latura $AB$ este cu $6\text{ cm}$ mai lungă decât latura $BC$.
a) Calculați lungimile laturilor paralelogramului.
b) Știind că unghiul $BAD$ are cu $40{^\circ}$ mai puțin decât unghiul $ABC$, determinați măsurile unghiurilor paralelogramului.
-
În triunghiul $ABC$, punctele $M$, $N$ și $P$ sunt mijloacele laturilor $AB$, $AC$, respectiv $BC$. Lungimile laturilor $AB$, $BC$ și $AC$ sunt direct proporționale cu numerele $3$, $4$, respectiv $5$, iar perimetrul triunghiului $MNP$ este egal cu $18\text{ cm}$.
a) Calculați perimetrul triunghiului $ABC$.
b) Calculați lungimile laturilor triunghiului $ABC$ și lungimile segmentelor $MN$, $NP$ și $MP$.
Nivel avansat
-
Măsurile unghiurilor $A$, $B$, $C$ și $D$ ale patrulaterului convex $ABCD$ sunt invers proporționale cu numerele $4$, $4$, $6$, respectiv $3$.
a) Determinați măsurile unghiurilor patrulaterului $ABCD$.
b) Precizați care două laturi ale patrulaterului sunt paralele și justificați.
c) Este $ABCD$ paralelogram? Justificați răspunsul.
-
În paralelogramul $ABCD$, $AB = 12\text{ cm}$ și $AD = 7\text{ cm}$. Pe latura $CD$ se consideră punctul $E$ astfel încât $DE = 7\text{ cm}$.
a) Demonstrați că $\sphericalangle DAE \equiv \sphericalangle DEA$.
b) Demonstrați că semidreapta $AE$ este bisectoarea unghiului $BAD$.
c) Calculați lungimea segmentului $EC$ și, știind că $\sphericalangle ADC = 110{^\circ}$, determinați măsura unghiului $EAB$.
-
În triunghiul $ABC$, punctele $M$ și $N$ sunt mijloacele laturilor $AB$, respectiv $AC$. Pe semidreapta $MN$ se consideră punctul $D$, astfel încât $N$ să fie mijlocul segmentului $MD$.
a) Demonstrați că patrulaterul $MBCD$ este paralelogram.
b) Demonstrați că patrulaterul $AMCD$ este paralelogram.
c) Știind că $AB = 10\text{ cm}$ și $BC = 14\text{ cm}$, calculați perimetrul paralelogramului $MBCD$.