Fișă recapitulativă: geometrie (clasa a X-a)

Nivel 1 – Înțelegere și aplicare directă (minimul standard la Bacalaureat)

1. În sistemul de axe $xOy$ se dau punctele $A(2,3)$ și $B(4,7)$. Determinați coordonatele vectorului $\overrightarrow{AB}$ și modulul acestuia.

2. Se dau vectorii $\overrightarrow{u} = 3\overrightarrow{i} - 2\overrightarrow{j}$ și $\overrightarrow{v} = - \overrightarrow{i} + 4\overrightarrow{j}$. Calculați coordonatele vectorului $\overrightarrow{w} = 2\overrightarrow{u} + 3\overrightarrow{v}$.

3. Determinați lungimea segmentului $AB$ unde $A( - 1,4)$ și $B(5, - 4)$.

4. Aflați coordonatele mijlocului segmentului $AB$, unde $A( - 3,5)$ și $B(7,1)$.

5. Determinați numărul real $a$ pentru care vectorii $\overrightarrow{u} = 2\overrightarrow{i} + 4\overrightarrow{j}$ și $\overrightarrow{v} = a\overrightarrow{i} + 6\overrightarrow{j}$ sunt coliniari.

6. Se consideră vectorii $\overrightarrow{u} = 4\overrightarrow{i} + 3\overrightarrow{j}$ și $\overrightarrow{v} = a\overrightarrow{i} - 8\overrightarrow{j}$. Determinați $a \in \mathbb{R}$ astfel încât $\overrightarrow{u}\bot\overrightarrow{v}$.

7. Determinați panta dreptei care trece prin punctele $A(1,2)$ și $B(4,8)$.

8. Scrieți ecuația dreptei care trece prin punctul $A(2, - 1)$ și are panta $m = - 3$.

9. Determinați ecuația dreptei care trece prin punctele $A(2,3)$ și $B( - 1,0)$.

10. Scrieți ecuația explicită a dreptei $d:2x - 3y + 6 = 0$ și identificați panta acesteia.

11. Se dă dreapta $d:y = 2x - 5$. Determinați ecuația dreptei $d'$ care trece prin $A(1,4)$ și este paralelă cu $d$.

12. Se dă dreapta $d:y = - \frac{1}{3}x + 2$. Determinați panta unei drepte perpendiculare pe $d$.

13. Calculați distanța de la punctul $A(3,2)$ la dreapta $d:3x + 4y - 2 = 0$.

14. Determinați centrul de greutate al triunghiului cu vârfurile $A(1,2)$, $B(5,0)$ și $C(3,7)$.

15. Verificați dacă punctele $A(1,1)$, $B(2,3)$ și $C(4,7)$ sunt coliniare.

Nivel 2 – Aplicare medie (format standard Subiectul I5 BAC)

16. Determinați ecuația dreptei care trece prin punctul $A(3, - 2)$ și este paralelă cu dreapta de ecuație $x + 2y - 5 = 0$.

17. Determinați ecuația dreptei care trece prin $P( - 1,2)$ și este perpendiculară pe dreapta $d:2x - y + 3 = 0$.

18. În reperul cartezian $xOy$ se consideră punctele $A(1,2)$, $B(3,4)$ și $C(5,0)$. Determinați lungimea medianei din $A$ a triunghiului $ABC$.

19. Se consideră punctele $A(2,1)$, $B(6,3)$ și $C(4,5)$. Scrieți ecuația înălțimii duse din vârful $C$ în triunghiul $ABC$.

20. Determinați numărul real $m$ pentru care dreptele $d_{1}:mx + y - 2 = 0$ și $d_{2}:4x + my + 1 = 0$ sunt paralele.

21. Determinați numărul real $a$ pentru care dreptele $d_{1}:(a + 1)x + 3y - 1 = 0$ și $d_{2}:2x - y + 4 = 0$ sunt perpendiculare.

22. În sistemul $xOy$ se dau $A(1,3)$, $B(5,1)$ și $C(3,7)$. Calculați aria triunghiului $ABC$.

23. Să se determine coordonatele punctului $D$ astfel încât patrulaterul $ABCD$ să fie paralelogram, știind că $A(1,1)$, $B(4,2)$ și $C(5,5)$.

24. Fie vectorii $\overrightarrow{u} = 2\overrightarrow{i} + (m - 1)\overrightarrow{j}$ și $\overrightarrow{v} = (m + 1)\overrightarrow{i} + 4\overrightarrow{j}$. Determinați $m > 0$ astfel încât $|\overrightarrow{u}| = |\overrightarrow{v}|$.

25. Se dau punctele $A( - 2,1)$ și $B(4,5)$. Determinați ecuația mediatoarei segmentului $\lbrack AB\rbrack$.

26. Determinați coordonatele simetricului punctului $A(3,4)$ față de punctul $B(1,1)$.

27. Să se determine panta dreptei de ecuație $(\alpha + 1)x + (\alpha - 1)y + 3 = 0$, unde $\alpha \in \mathbb{R} \smallsetminus \left\{ 1 \right\}$.

28. Arătați că triunghiul cu vârfurile $A(0,0)$, $B(3,1)$ și $C( - 1,3)$ este dreptunghic isoscel.

29. Se dă vectorul $\overrightarrow{u} = 5\overrightarrow{i} - 12\overrightarrow{j}$. Determinați un vector de lungime 1 (vector unitar) cu aceeași direcție și sens ca $\overrightarrow{u}$.

30. Determinați unghiul format de vectorii $\overrightarrow{u} = \overrightarrow{i} + \sqrt{3}\overrightarrow{j}$ și $\overrightarrow{v} = \sqrt{3}\overrightarrow{i} + \overrightarrow{j}$.

31. Să se determine $a \in \mathbb{R}$ astfel încât punctul $P(1,a)$ să se afle la distanța $2$ față de dreapta $d:3x - 4y + 1 = 0$.

32. Punctele $A(2,3)$, $B(4,y)$ și $C(x,7)$ sunt astfel încât $B$ este mijlocul lui $\lbrack AC\rbrack$. Determinați $x$ și $y$.

33. Calculați produsul scalar $\overrightarrow{u} \cdot \overrightarrow{v}$, știind că $||\overrightarrow{u}|| = 4$, $||\overrightarrow{v}|| = 3$ și unghiul dintre ei este de $60^{\circ}$.

34. Determinați ecuațiile dreptelor paralele cu $d:4x - 3y + 1 = 0$ aflate la distanța $2$ față de aceasta.

35. În triunghiul $ABC$ se cunosc $A(1,1)$ și ecuațiile mediatoarelor: $x - y + 1 = 0$ și $2x + y - 4 = 0$. Determinați centrul cercului circumscris triunghiului.

Nivel 3 – Aprofundare și consolidare (raționament matematic integrat)

36. Se consideră dreptele $d_{m}:(2m + 1)x + (m - 1)y + 3m - 2 = 0$, $m \in \mathbb{R}$. Arătați că toate dreptele $d_{m}$ trec printr-un punct fix $P$ și determinați coordonatele acestuia.

37. În $\bigtriangleup ABC$ se dau vârfurile $A(2,4)$, $B( - 1,1)$ și $C(5, - 1)$. Determinați coordonatele ortocentrului $H$ al triunghiului.

38. Determinați coordonatele simetricului punctului $A(1,5)$ față de dreapta $d:2x - y + 1 = 0$.

39. Fie $A(1,2)$ și $B(3,0)$. Determinați coordonatele punctului $C$ situat pe prima bisectoare ($y = x$) astfel încât aria triunghiului $ABC$ să fie egală cu $4$.

40. Fie punctele $A(2,0)$ și $B(0,4)$. Determinați coordonatele punctelor $M$ situate pe axa $Ox$ pentru care unghiul $\widehat{AMB}$ este drept ($90^{\circ}$).

41. Să se determine $a \in \mathbb{R}$ astfel încât vectorii $\overrightarrow{u} = (a + 1)\overrightarrow{i} + 2\overrightarrow{j}$ și $\overrightarrow{v} = 3\overrightarrow{i} + (a - 1)\overrightarrow{j}$ să formeze un unghi obtuz.

42. În triunghiul $ABC$, punctul $M$ împarte latura $BC$ în raportul $\frac{BM}{MC} = 2$. Exprimați vectorul $\overrightarrow{AM}$ în funcție de vectorii $\overrightarrow{AB}$ și $\overrightarrow{AC}$.

43. Fie $ABCD$ un patrulater oarecare. Arătați vectorial că $\overrightarrow{AB} + \overrightarrow{CD} = \overrightarrow{AD} + \overrightarrow{CB}$.

44. Determinați coordonatele proiecției ortogonale a originii $O(0,0)$ pe dreapta $d:3x - 4y + 25 = 0$.

45. Se consideră dreptele $d_{1}:y = 2x + 1$, $d_{2}:y = - x + 4$ și $d_{3}:y = mx + 3$. Determinați $m \in \mathbb{R}$ astfel încât cele trei drepte să fie concurente.

46. Se consideră punctele $A(a,0)$, $B(0,b)$ cu $a,b > 0$ astfel încât aria triunghiului $OAB$ este $6$. Știind că dreapta $AB$ are panta $m = - \frac{3}{2}$, aflați $a$ și $b$.

47. Arătați că punctul $P(x,y)$ egal depărtat de dreptele $d_{1}:3x - 4y + 1 = 0$ și $d_{2}:5x + 12y - 2 = 0$ se află pe una dintre bisectoarele unghiurilor formate de cele două drepte și scrieți ecuațiile acestor bisectoare.

48. Se consideră vectorii de poziție ai vârfurilor $\bigtriangleup ABC$: $\overrightarrow{r_{A}} = \overrightarrow{i} + 2\overrightarrow{j}$, $\overrightarrow{r_{B}} = 4\overrightarrow{i} + 6\overrightarrow{j}$, $\overrightarrow{r_{C}} = 7\overrightarrow{i} - 1\overrightarrow{j}$. Determinați modulul vectorului $\overrightarrow{v} = \overrightarrow{r_{A}} + \overrightarrow{r_{B}} - 2\overrightarrow{r_{C}}$.

49. Determinați ecuația dreptei care trece prin punctul de intersecție al dreptelor $x - y + 1 = 0$ și $2x + y - 4 = 0$ și este paralelă cu prima bisectoare.

50. În $\bigtriangleup ABC$ se dau $A(1,3)$ și ecuațiile mediatoarelor laturilor $AB$ și $AC$: $x + y - 3 = 0$, respectiv $x - 2y + 1 = 0$. Determinați coordonatele vârfurilor $B$ și $C$.