I. Calculul modulului. Explicitarea modulului
-
Calculați:
a) $| - 7| + |3 - 8| - | - 2| \cdot | - 4|$;
b) $\left| 2 - \sqrt{5} \right| + \left| \sqrt{5} - 3 \right|$;
c) $\left| 1 - \sqrt{2} \right| + \left| \sqrt{2} - \sqrt{3} \right| + \left| \sqrt{3} - 2 \right|$.
-
Arătați că numărul $a = \left| 2\sqrt{3} - 4 \right| + \left| 2\sqrt{3} - 3 \right|$ este natural.
-
Arătați că $|x - 2| + |x + 3| = 5$, pentru orice $x \in \lbrack - 3,\ 2\rbrack$.
-
Scrieți fără modul expresia $E(x) = |x - 3| + |2x + 4|$, unde $x$ este un număr real.
II. Proprietățile modulului
-
Arătați că numărul $N = \sqrt{\left( 1 - \sqrt{2} \right)^{2}} + \sqrt{\left( 3 - \sqrt{2} \right)^{2}}$ este natural.
-
Determinați numerele reale $x$ pentru care:
a) $|x - 5| = x - 5$;
b) $|2x + 6| = - 2x - 6$.
-
Determinați numerele reale $x$ și $y$ pentru care $|x - 2y| + |x + y - 6| = 0$.
-
Arătați că $\sqrt{x^{2} - 4x + 4} + \sqrt{x^{2} - 10x + 25} = 3$, pentru orice $x \in \lbrack 2,\ 5\rbrack$.
-
Determinați mulțimile:
a) $A = \left\{ x \in {\mathbb{Z}} \mid |2x - 1| \leq 5 \right\}$;
b) $B = \left\{ x \in {\mathbb{R}} \mid |x + 2| > 3 \right\}$.
-
Fie $x$ un număr real astfel încât $|x - 1| \leq 2$. Arătați că $|3x + 1| \leq 10$.
III. Ecuații cu modul
-
Rezolvați în mulțimea numerelor reale ecuațiile:
a) $|x - 3| = 5$;
b) $|2x + 1| = 7$;
c) $|3x - 2| = - 1$;
d) $\sqrt{x^{2} - 6x + 9} = 2$.
-
Rezolvați în mulțimea numerelor reale ecuațiile:
a) $|x - 1| = |2x + 3|$;
b) $|x - 2| = 2x - 7$.
-
Rezolvați în mulțimea numerelor reale ecuațiile:
a) $|x - 1| + |x - 3| = 4$;
b) $\left| |x - 2| - 3 \right| = 1$.
-
Rezolvați în mulțimea numerelor reale ecuațiile:
a) $x^{2} - 5|x| + 6 = 0$;
b) $\left| x^{2} - 4 \right| = 3x$.
-
Se consideră expresia $E(x) = |x - 1| + |x - 5|$, unde $x$ este un număr real.
a) Arătați că $E(x) \geq 4$, pentru orice număr real $x$.
b) Rezolvați în mulțimea numerelor reale ecuația $E(x) = 4$.