Fișa conține 30 de probleme grupate pe cele trei niveluri de performanță din standardele naționale de evaluare (de bază – consolidat – avansat). În fiecare secțiune apar calcule, proprietăți, ecuații și inecuații. Scrie rezolvările complete; criteriile după care se apreciază o rezolvare sunt date mai jos.
Criterii de evaluare
| Nivel | Itemi | Descriptori de performanță – elevul: |
|---|---|---|
| De bază | 1 – 10 | calculează modulul, partea întreagă și partea fracționară ale unor numere date (inclusiv negative sau iraționale); recunoaște proprietățile de bază; rezolvă ecuații și inecuații de forma $|ax + b| = c$, $|ax + b| \leq c$, $\lbrack x\rbrack = k$, în context matematic familiar. |
| Consolidat | 11 – 22 | elimină modulul după stabilirea semnului; justifică proprietăți; rezolvă ecuații de tipul $|E| = |F|$, $|E| = F$ (cu condiție), sume de module (metoda intervalelor), inecuații cu soluții reuniuni de intervale și ecuații/inecuații cu $\left\lbrack E(x) \right\rbrack$, în contexte variate. |
| Avansat | 23 – 30 | demonstrează inegalități folosind proprietățile modulului; discută numărul de soluții după un parametru; rezolvă ecuații cu module suprapuse, ecuații de tipul $\left\lbrack E(x) \right\rbrack = F(x)$ sau cu $\lbrack x\rbrack$ și $\left\{ x \right\}$; generalizează un calcul, în context complex. |
O rezolvare completă respectă: C1 – identificarea tipului problemei și scrierea condițiilor (semnul expresiei, membrul drept nenegativ, $k \in {\mathbb{Z}}$, $\left\{ x \right\} \in \lbrack 0,\ 1)$); C2 – aplicarea corectă a definițiilor și proprietăților; C3 – corectitudinea calculelor; C4 – redactarea: intersecția cu condițiile, scrierea mulțimii soluțiilor $S$ (mulțime finită, interval sau reuniune de intervale) și verificarea.
Secțiunea A – Nivel de bază (itemii 1 – 10)
Scrie rezolvările complete.
Calcule
-
Calculați $| - 7| + |3 - 8| - | - 2| \cdot |4|$.
-
Arătați că $\left| \sqrt{5} - 3 \right| + \left| \sqrt{5} - 2 \right| = 1$.
-
Calculați $\left\lbrack \text{3,7} \right\rbrack$, $\left\lbrack - \text{3,7} \right\rbrack$, $\left\{ \text{3,7} \right\}$ și $\left\{ - \text{3,7} \right\}$.
-
Determinați $\left\lbrack \sqrt{20} \right\rbrack$, $\left\lbrack - \sqrt{20} \right\rbrack$ și $\left\{ \sqrt{20} \right\}$.
Proprietăți
-
Stabiliți valoarea de adevăr a fiecărei propoziții. Justificați printr-o proprietate sau printr-un contraexemplu.
a) $|a + b| = |a| + |b|$, pentru orice $a,\ b \in {\mathbb{R}}$;
b) $|x|^{2} = x^{2}$, pentru orice $x \in {\mathbb{R}}$;
c) $\sqrt{x^{2}} = x$, pentru orice $x \in {\mathbb{R}}$;
d) $\lbrack x + 2\rbrack = \lbrack x\rbrack + 2$, pentru orice $x \in {\mathbb{R}}$;
e) $\lbrack 2x\rbrack = 2\lbrack x\rbrack$, pentru orice $x \in {\mathbb{R}}$.
-
Arătați că $|x - 3| + |x + 1| = 4$, pentru orice $x \in \lbrack - 1,\ 3\rbrack$.
Ecuații
-
Rezolvați în $\mathbb{R}$ ecuația $|x - 2| = 5$.
-
Rezolvați în $\mathbb{R}$ ecuațiile:
a) $|2x + 1| = - 3$;
b) $|3x - 6| = 0$.
-
Determinați numerele reale $x$ pentru care $\lbrack x\rbrack = - 2$.
Inecuații
-
Rezolvați în $\mathbb{R}$ inecuațiile și scrieți mulțimea soluțiilor sub formă de interval:
a) $|x - 1| \leq 3$;
b) $\lbrack x\rbrack < 3$.
Secțiunea B – Nivel consolidat (itemii 11 – 22)
Scrie rezolvările complete.
Calcule
-
Arătați că numărul $N = \left| 1 - \sqrt{2} \right| + \left| \sqrt{2} - \sqrt{3} \right| + \left| \sqrt{3} - 2 \right|$ este natural.
-
Arătați că $\sqrt{x^{2} - 2x + 1} + \sqrt{x^{2} - 8x + 16} = 3$, pentru orice $x \in \lbrack 1,\ 4\rbrack$.
-
Calculați $S = \left\lbrack \sqrt{1} \right\rbrack + \left\lbrack \sqrt{2} \right\rbrack + \left\lbrack \sqrt{3} \right\rbrack + \ldots + \left\lbrack \sqrt{10} \right\rbrack$.
Proprietăți
-
Fie $a,\ b \in {\mathbb{R}}$ cu $|a| \leq 1$ și $|b| \leq 1$. Arătați că:
a) $|a + b| \leq 2$;
b) $|ab| \leq 1$.
-
a) Arătați că $\lbrack x\rbrack + \lbrack - x\rbrack = - 1$, pentru orice $x \in {\mathbb{R}} \smallsetminus {\mathbb{Z}}$.
b) Calculați $\left\lbrack \sqrt{3} \right\rbrack + \left\lbrack - \sqrt{3} \right\rbrack + \left\{ \sqrt{3} \right\} + \left\{ - \sqrt{3} \right\}$.
Ecuații
-
Rezolvați în $\mathbb{R}$ ecuația $|2x - 3| = |x + 1|$.
-
Rezolvați în $\mathbb{R}$ ecuația $|x - 3| = 2x - 1$.
-
Rezolvați în $\mathbb{R}$ ecuația $|x - 1| + |x - 2| = 3$.
-
Rezolvați în $\mathbb{R}$ ecuația $\left\lbrack \frac{2x + 1}{3} \right\rbrack = 2$.
Inecuații
-
Rezolvați în $\mathbb{R}$ inecuația $|2x - 5| > 3$.
-
Se consideră mulțimea $A = \{ x \in {\mathbb{R}}\text{ | }1 \leq |x - 2| < 4\}$.
a) Scrieți mulțimea $A$ ca reuniune de intervale.
b) Determinați mulțimea $A \cap {\mathbb{Z}}$.
-
Rezolvați în $\mathbb{R}$ inecuația $\left| 2\lbrack x\rbrack - 1 \right| \leq 3$.
Secțiunea C – Nivel avansat (itemii 23 – 30)
Scrie rezolvările complete, cu toate justificările.
Proprietăți și demonstrații
-
Numerele reale $x$ și $y$ verifică relațiile $|x - 2| \leq 1$ și $|y + 1| \leq 2$. Arătați că $|x + 2y| \leq 5$.
-
Se consideră expresia $E(x) = |x - 1| + |x + 2|$, unde $x \in {\mathbb{R}}$.
a) Arătați că $E(x) \geq 3$, pentru orice $x \in {\mathbb{R}}$, și determinați valorile lui $x$ pentru care $E(x) = 3$.
b) Discutați, după valorile parametrului real $m$, numărul soluțiilor ecuației $E(x) = m$.
Ecuații
-
Rezolvați în $\mathbb{R}$ ecuația $\left| |x - 2| - 3 \right| = 1$.
-
Rezolvați în $\mathbb{R}$ ecuația $\lbrack x\rbrack = \frac{3x - 1}{2}$.
-
Rezolvați în $\mathbb{R}$ ecuația $\lbrack x\rbrack + 2\left\{ x \right\} = 3$.
Inecuații
-
Rezolvați în $\mathbb{R}$ inecuația $|x + 1| - |x - 2| \geq 1$.
Probleme de sinteză
-
a) Verificați egalitatea $\lbrack x\rbrack + \left\lbrack x + \frac{1}{2} \right\rbrack = \lbrack 2x\rbrack$ pentru $x = \text{2,3}$ și pentru $x = \text{2,7}$, apoi demonstrați că ea este adevărată pentru orice $x \in {\mathbb{R}}$.
b) Rezolvați în $\mathbb{R}$ ecuația $\lbrack x\rbrack + \left\lbrack x + \frac{1}{2} \right\rbrack = 5$.
-
(Nota 10)
a) Arătați că, pentru orice $k \in {\mathbb{N}}^{*}$, există exact $2k + 1$ numere naturale $n$ cu $\left\lbrack \sqrt{n} \right\rbrack = k$.
b) Calculați $S = \left\lbrack \sqrt{1} \right\rbrack + \left\lbrack \sqrt{2} \right\rbrack + \left\lbrack \sqrt{3} \right\rbrack + \ldots + \left\lbrack \sqrt{99} \right\rbrack$.
Autoevaluare
| Secțiunea | Itemi rezolvați corect | Criteriul la care am greșit cel mai des (C1–C4) | Ce reiau din sinteză |
|---|---|---|---|
| A – de bază | …… din 10 | ||
| B – consolidat | …… din 12 | ||
| C – avansat | …… din 8 |