Întrebarea fișei: Cum afli direct al 100-lea termen al unui șir dat printr-o recurență, fără să-i calculezi pe toți cei dinaintea lui, și cum îi studiezi monotonia și mărginirea?
Pornim de la ce știi
Trei verificări rapide. Dacă una dintre ele îți ridică probleme, notează-o: la ea revii prima.
-
Completează: dacă $(a_n)$ este progresie aritmetică cu $a_1=4$ și rația $r=3$, atunci $a_n=\ldots$; dacă $(b_n)$ este progresie geometrică cu $b_1=2$ și rația $q=5$, atunci $b_n=\ldots$
-
Calculează $1+2+\ldots+20$ și $1+2+2^2+\ldots+2^9$. Ce formule ai folosit?
-
Rezolvă în $\mathbb{C}$ ecuația $r^2-2r+4=0$ și scrie soluțiile în formă trigonometrică.
Teorie pe scurt
Pentru fiecare tip de recurență: cum îl recunoști, metoda pas cu pas (în chenarul gros) și exemple rezolvate. La final găsești schema recapitulativă și firul logic.
1. Recurența liniară de ordinul 1
Definiție
O relație de forma $x_{n+1}=a\cdot x_n+b$, cu $a, b$ numere reale, se numește recurență liniară de ordinul 1. Dacă $a=1$, șirul este o progresie aritmetică. Dacă $b=0$, șirul este o progresie geometrică.
★ Metodă
Metoda punctului fix ($a\ne 1$)
- Caut punctul fix: pun $\ell$ în locul lui $x_{n+1}$ și al lui $x_n$. Din $\ell=a\ell+b$ obțin $\ell=\frac{b}{1-a}$.
- Scad cele două relații: $x_{n+1}-\ell=a(x_n-\ell)$. Șirul $y_n=x_n-\ell$ este o progresie geometrică cu rația $a$.
- Scriu $y_n=y_1\cdot a^{n-1}$.
- Mă întorc la $x_n=y_n+\ell$ și verific pe $x_2$.
De reținut
$$x_n=\ell+(x_1-\ell)\cdot a^{n-1}$$
Dacă șirul începe cu $x_0$, exponentul devine $n$: $x_n=\ell+(x_0-\ell)\cdot a^n$.
Exemplul 1 · Pas cu pas
Determină termenul general al șirului $x_1=5$, $x_{n+1}=3x_n-4$, $n\ge 1$.
Pasul 1. $\ell=3\ell-4\Rightarrow \ell=2$.
Pasul 2. $y_n=x_n-2$ verifică $y_{n+1}=3y_n$, iar $y_1=5-2=3$.
Pasul 3. $y_n=3\cdot 3^{n-1}=3^n$.
Pasul 4. $x_n=3^n+2$. Verificare: din relație $x_2=11$; din formulă $9+2=11$ ✓.
Exemplul 2 · Cu fracții
Determină termenul general al șirului $x_1=1$, $x_{n+1}=\frac{1}{2}x_n+3$, $n\ge 1$.
Pasul 1. $\ell=\frac{1}{2}\ell+3\Rightarrow \ell=6$.
Pașii 2–3. $y_n=x_n-6$, $y_{n+1}=\frac{1}{2}y_n$, $y_1=-5$, deci $y_n=-\frac{5}{2^{n-1}}$.
Pasul 4. $x_n=6-\frac{5}{2^{n-1}}$. Verificare: $x_2=\frac{1}{2}+3=\frac{7}{2}$ și $6-\frac{5}{2}=\frac{7}{2}$ ✓.
2. Recurența liniară omogenă de ordinul 2
Definiție
O relație de forma $x_{n+2}=a\cdot x_{n+1}+b\cdot x_n$ se numește recurență liniară omogenă de ordinul al doilea. Fiecare termen se obține din cei doi termeni dinaintea lui.
★ Metodă
Metoda ecuației caracteristice
- Scriu ecuația caracteristică: înlocuiesc $x_{n+2}$ cu $r^2$, $x_{n+1}$ cu $r$ și $x_n$ cu 1. Obțin $r^2=ar+b$.
- Calculez $\Delta$ și rădăcinile. Scriu forma lui $x_n$ după tabelul de mai jos.
- Aflu $A$ și $B$ din primii doi termeni: înlocuiesc $n$ cu indicii lor și rezolv sistemul.
- Verific formula pe al treilea termen, calculat din relație.
| Δ | Rădăcinile | Forma termenului general |
|---|---|---|
| $\Delta>0$ | două rădăcini reale $r_1\ne r_2$ | $x_n=A\cdot r_1^n+B\cdot r_2^n$ |
| $\Delta=0$ | o rădăcină dublă $r$ | $x_n=(A+B\cdot n)\cdot r^n$ |
| $\Delta<0$ | $r_{1,2}=\rho(\cos{t}\pm i\sin{t})$ | $x_n=\rho^n\cdot (A\cos{nt}+B\sin{nt})$ |
Exemplul 3 · Δ > 0
Determină termenul general al șirului $x_0=2$, $x_1=7$, $x_{n+2}=5x_{n+1}-6x_n$, $n\in \mathbb{N}$.
Pașii 1–2. $r^2-5r+6=0$, $\Delta=1>0$, $r_1=2$, $r_2=3$. Deci $x_n=A\cdot 2^n+B\cdot 3^n$.
Pasul 3. $n=0$: $A+B=2$; $n=1$: $2A+3B=7$. Obțin $B=3$, $A=-1$, deci $x_n=3^{n+1}-2^n$.
Pasul 4. Din relație: $x_2=5\cdot 7-6\cdot 2=23$. Din formulă: $27-4=23$ ✓.
Exemplul 4 · Δ = 0
Determină termenul general al șirului $x_0=2$, $x_1=4$, $x_{n+2}=8x_{n+1}-16x_n$, $n\in \mathbb{N}$.
Pașii 1–2. $r^2-8r+16=0$, $\Delta=0$, $r=4$ (rădăcină dublă). Deci $x_n=(A+B\cdot n)\cdot 4^n$.
Pasul 3. $n=0$: $A=2$; $n=1$: $(A+B)\cdot 4=4$, deci $A+B=1$ și $B=-1$. Obțin $x_n=(2-n)\cdot 4^n$.
Pasul 4. Din relație: $x_2=8\cdot 4-16\cdot 2=0$. Din formulă: $0\cdot 16=0$ ✓.
Exemplul 5 · Δ < 0
Determină termenul general al șirului $x_0=1$, $x_1=2$, $x_{n+2}=-4x_n$, $n\in \mathbb{N}$.
Pașii 1–2. $r^2+4=0$, $\Delta=-16<0$, $r=\pm 2i=2\left(\cos\frac{\pi}{2}\pm i\sin\frac{\pi}{2}\right)$, deci $\rho=2$, $t=\frac{\pi}{2}$ și $x_n=2^n\cdot \left(A\cos\frac{n\pi}{2}+B\sin\frac{n\pi}{2}\right)$.
Pasul 3. $n=0$: $A=1$; $n=1$: $2\cdot (A\cdot 0+B\cdot 1)=2$, deci $B=1$.
$$x_n=2^n\cdot \left(\cos\frac{n\pi}{2}+\sin\frac{n\pi}{2}\right)$$
Pasul 4. Din relație: $x_2=-4\cdot 1=-4$. Din formulă: $4\cdot (-1+0)=-4$ ✓.
Atenție · Cazul Δ = 0
La $\Delta=0$ nu scrii $A\cdot 4^n+B\cdot 4^n$. Aceasta este de fapt $(A+B)\cdot 4^n$, adică o singură constantă, iar sistemul pentru $A$ și $B$ nu are, în general, soluție. De aceea apare factorul $n$.
De reținut · Un truc pentru Δ < 0
Din relațiile lui Viète: $\rho=\sqrt{-b}$ și $\cos{t}=\frac{a}{2\rho}$, cu $t\in (0;\pi)$. Dacă $\rho=1$, șirul se repetă (este periodic).
3. Recurențe aditive, multiplicative și mixte
Definiții
- Recurență aditivă: $x_{n+1}=x_n+f(n)$, unde $f(n)$ depinde doar de $n$.
- Recurență multiplicativă: $x_{n+1}=g(n)\cdot x_n$.
- Recurență mixtă: $x_{n+1}=a\cdot x_n+(\text{ceva cu }a^n)$.
★ Metodă
Metoda telescopării
- Scriu relația pentru $1; 2; \ldots; n-1$, una sub alta.
- Aditivă: adun egalitățile. Multiplicativă: le înmulțesc. Mixtă: întâi împart la $a^{n+1}$; șirul $y_n=\frac{x_n}{a^n}$ verifică o recurență aditivă.
- Termenii din mijloc se reduc. Calculez suma (sau produsul) care rămâne.
- Verific formula pe $x_2$.
De reținut
$$x_n=x_1+f(1)+f(2)+\ldots+f(n-1)$$
$$x_n=x_1\cdot g(1)\cdot g(2)\cdot \ldots\cdot g(n-1)$$
Sume utile:
$$1+2+\ldots+m=\frac{m(m+1)}{2}$$
$$1+3+\ldots+(2m-1)=m^2$$
$$1+q+\ldots+q^{m-1}=\frac{q^m-1}{q-1}\quad (q\ne 1)$$
Exemplul 6 · Recurență aditivă
Determină termenul general al șirului $x_1=3$, $x_{n+1}=x_n+2n+1$, $n\ge 1$.
Pasul 1. $x_2=x_1+3$, $x_3=x_2+5$, …, $x_n=x_{n-1}+(2n-1)$.
Pasul 2. Adun: $x_n=3+(3+5+\ldots+(2n-1))=3+(n^2-1)$, deci $x_n=n^2+2$.
Verificare: $x_2=3+3=6$ și $2^2+2=6$ ✓.
Exemplul 7 · Recurență multiplicativă
Determină termenul general al șirului $x_1=2$, $x_{n+1}=\frac{n+2}{n}\cdot x_n$, $n\ge 1$.
Pasul 1. Înmulțesc relațiile pentru $1; 2; \ldots; n-1$:
$$x_n=2\cdot \frac{3}{1}\cdot \frac{4}{2}\cdot \frac{5}{3}\cdot \ldots\cdot \frac{n}{n-2}\cdot \frac{n+1}{n-1}$$
Pasul 2. Se simplifică „în diagonală”: rămân sus $n$ și $n+1$, jos 1 și 2. Deci $x_n=2\cdot \frac{n(n+1)}{2}=n(n+1)$.
Verificare: $x_2=3\cdot 2=6$ și $2\cdot 3=6$ ✓.
Exemplul 8 · Recurență mixtă
Determină termenul general al șirului $x_1=1$, $x_{n+1}=2x_n+2^n$, $n\ge 1$.
Pasul 1. Împart la $2^{n+1}$: $\frac{x_{n+1}}{2^{n+1}}=\frac{x_n}{2^n}+\frac{1}{2}$.
Pasul 2. $y_n=\frac{x_n}{2^n}$ este o progresie aritmetică cu rația $\frac{1}{2}$ și $y_1=\frac{1}{2}$, deci $y_n=\frac{n}{2}$.
Pasul 3. $x_n=2^n\cdot \frac{n}{2}=n\cdot 2^{n-1}$. Verificare: $x_2=2+2=4$ și $2\cdot 2=4$ ✓.
Atenție · Câți termeni are suma?
Scrii relația pentru $1; 2; \ldots; n-1$, deci suma (sau produsul) are $n-1$ termeni, nu $n$. De aceea în formulele de mai sus apare $m=n-1$.
4. Recurențe cu radicali
Trei trucuri
Truc 1 · Ridic la pătrat. Dacă apare $\sqrt{\ldots x_n^2\ldots}$, notez $y_n=x_n^2$.
Truc 2 · Pătratul perfect ascuns. $x_n\pm 2\sqrt{x_n}+1=\left(\sqrt{x_n}\pm 1\right)^2$; notez $y_n=\sqrt{x_n}$.
Truc 3 · Logaritmez. Dacă relația are doar produse, puteri și radicali (de exemplu $x_{n+1}=c\cdot \sqrt{x_n}$), notez $y_n=\log_c{x_n}$. Puterile devin produse, iar produsele devin sume.
★ Metodă
Metoda substituției
- Recunosc trucul potrivit: ridic la pătrat, caut pătratul perfect ascuns sau logaritmez.
- Fac substituția: $y_n=x_n^2$, $y_n=\sqrt{x_n}$ sau $y_n=\log_c{x_n}$.
- Rezolv recurența pentru $y_n$: de obicei este o progresie sau o recurență de tipul 1.
- Mă întorc la $x_n$, după ce verific semnul termenilor.
Exemplul 9 · Pătratul perfect ascuns
Determină termenul general al șirului $x_1=4$, $x_{n+1}=x_n+2\sqrt{x_n}+1$, $n\ge 1$.
Pasul 1. Recunosc $a^2+2a+1=(a+1)^2$ cu $a=\sqrt{x_n}$: $x_{n+1}=\left(\sqrt{x_n}+1\right)^2$.
Pasul 2. Termenii sunt pozitivi, deci $\sqrt{x_{n+1}}=\sqrt{x_n}+1$. Șirul $y_n=\sqrt{x_n}$ este o progresie aritmetică, cu $y_1=2$.
Pasul 3. $y_n=n+1$, deci $x_n=(n+1)^2$. Verificare: $x_2=4+4+1=9$ și $3^2=9$ ✓.
Exemplul 10 · Logaritmez
Determină termenul general al șirului $x_1=16$, $x_{n+1}=2\sqrt{x_n}$, $n\ge 1$.
Pasul 1. Logaritmez în baza 2: $\log_2{x_{n+1}}=1+\frac{1}{2}\log_2{x_n}$.
Pasul 2. $y_n=\log_2{x_n}$ verifică $y_{n+1}=\frac{1}{2}y_n+1$, cu $y_1=4$: o recurență de tipul 1!
Pasul 3. $\ell=2$, deci $y_n=2+2\cdot \left(\frac{1}{2}\right)^{n-1}=2+\frac{1}{2^{n-2}}$ și $x_n=2^{2+\frac{1}{2^{n-2}}}$.
Verificare: $x_2=2\cdot 4=8$ și $2^{2+1}=8$ ✓.
Atenție · Semnul
Din $x_{n+1}^2=\ldots$ deduci $x_{n+1}=\sqrt{\ldots}$ numai dacă știi că termenii sunt pozitivi. Verifică întâi semnul!
5. Recurențe polinomiale
Două situații
A. $x_{n+1}$ este un polinom în $x_n$. Caut o constantă $c$ cu $x_{n+1}+c=(x_n+c)^k$. La gradul 2, coeficientul lui $x_n$ trebuie să fie $2c$.
B. $x_{n+1}=a\cdot x_n+P(n)$, cu $P$ un polinom în $n$ și $a\ne 1$. Aceeași idee ca punctul fix: caut un polinom $p_n$, de același grad cu $P$, care verifică relația.
★ Metodă
Metoda substituției
- Caut ce „copiază” relația: constanta $c$ (situația A) sau polinomul $p_n$ (situația B).
- Notez $y_n=x_n+c$ (A), respectiv $y_n=x_n-p_n$ (B).
- A: $y_{n+1}=y_n^k$, deci $y_n=y_1^{k^{n-1}}$. B: $y_{n+1}=a\cdot y_n$, deci $y_n=y_1\cdot a^{n-1}$.
- Mă întorc la $x_n$ și verific pe primii termeni.
De reținut · Cum o recunoști
„$x_{n+1}=x_n^2+2x_n$” → „$x_{n+1}+1$ este pătratul lui $x_n+1$” → $y_{n+1}=y_n^2$.
Dacă vezi $2x_n^2-1$, gândește-te la $\cos{2t}=2\cos^2{t}-1$: „unghiul se dublează”. Dacă vezi $4x_n^3-3x_n$, gândește-te la $\cos{3t}=4\cos^3{t}-3\cos{t}$.
Exemplul 11 · Substituția cu cosinus
Determină termenul general al șirului $x_1=\frac{1}{2}$, $x_{n+1}=2x_n^2-1$, $n\ge 1$.
Pasul 1. Scriu $x_1=\cos\frac{\pi}{3}$. Atunci $x_2=2\cos^2\frac{\pi}{3}-1=\cos\frac{2\pi}{3}$.
Pasul 2. La fiecare pas unghiul se dublează. Prin inducție: $x_n=\cos\frac{2^{n-1}\pi}{3}$.
Verificare: $x_2=2\cdot \frac{1}{4}-1=-\frac{1}{2}=\cos\frac{2\pi}{3}$ ✓.
Exemplul 12 · Termen polinomial în n
Determină termenul general al șirului $x_1=1$, $x_{n+1}=2x_n+n$, $n\ge 1$.
Pasul 1. Caut $p_n=\alpha n+\beta$ cu $\alpha (n+1)+\beta=2(\alpha n+\beta)+n$.
Pasul 2. Identific: la $n$, $\alpha=2\alpha+1\Rightarrow \alpha=-1$; termenii liberi: $\alpha+\beta=2\beta\Rightarrow \beta=-1$.
Pasul 3. $y_n=x_n+n+1$ verifică $y_{n+1}=2y_n$, $y_1=3$, deci $y_n=3\cdot 2^{n-1}$.
Pasul 4. $x_n=3\cdot 2^{n-1}-n-1$. Verificare: $x_2=3$ și $6-3=3$ ✓; $x_3=8$ și $12-4=8$ ✓.
6. Recurența omografică
Definiție
Un șir dat printr-o relație de forma
$$x_{n+1}=\frac{a\cdot x_n+b}{c\cdot x_n+d}$$
se numește șir dat printr-o recurență omografică. Soluțiile ecuației $x=\frac{ax+b}{cx+d}$ se numesc punctele fixe ale recurenței.
★ Metodă
Metoda punctelor fixe
- Rezolv ecuația punctelor fixe $x=\frac{ax+b}{cx+d}$. Obțin o ecuație de gradul al doilea.
- Aleg substituția după numărul de soluții (tabelul de mai jos).
- Scriu $y_n$ (sau $z_n$) cu formula progresiei.
- Mă întorc la $x_n$ și verific pe $x_2$.
| Punctele fixe | Substituția | Ce obțin |
|---|---|---|
| două: $\alpha\ne \beta$ | $y_n=\frac{x_n-\alpha}{x_n-\beta}$ | $(y_n)$ este o progresie geometrică |
| una: $\alpha$ | $z_n=\frac{1}{x_n-\alpha}$ | $(z_n)$ este o progresie aritmetică |
| niciuna ($\Delta<0$) | – | caut perioada: de obicei termenii se repetă |
De reținut · Cum găsesc rația
Scad punctul fix din relație. Pentru orice punct fix $\alpha$:
$$x_{n+1}-\alpha=\frac{(a-c\alpha)(x_n-\alpha)}{c\cdot x_n+d}$$
Pentru două puncte fixe împart cele două egalități: numitorul $c\cdot x_n+d$ se simplifică.
De reținut · Dacă nu există puncte fixe
De obicei șirul se repetă. Calculez termenii până când reapare $x_1$. Dacă termenii se repetă din $p$ în $p$, împart indicele la $p$ și mă uit la rest.
Exemplul 13 · Două puncte fixe
Determină termenul general al șirului $x_1=3$, $x_{n+1}=\frac{4x_n-2}{x_n+1}$, $n\ge 1$.
Pasul 1. $x=\frac{4x-2}{x+1}\Rightarrow x^2-3x+2=0\Rightarrow \alpha=1$, $\beta=2$.
Pasul 2. Scad punctele fixe din relație:
$$x_{n+1}-1=\frac{3(x_n-1)}{x_n+1},\quad x_{n+1}-2=\frac{2(x_n-2)}{x_n+1}$$
Împart: $y_{n+1}=\frac{3}{2}\cdot y_n$, unde $y_n=\frac{x_n-1}{x_n-2}$.
Pasul 3. $y_1=\frac{3-1}{3-2}=2$, deci $y_n=2\cdot \left(\frac{3}{2}\right)^{n-1}$.
Pasul 4. Din $y_n(x_n-2)=x_n-1$ obțin $x_n=\frac{2y_n-1}{y_n-1}=\frac{8\cdot 3^{n-1}-2^n}{4\cdot 3^{n-1}-2^n}$. Verificare: $x_2=\frac{10}{4}=\frac{5}{2}$ și $\frac{24-4}{12-4}=\frac{5}{2}$ ✓.
Exemplul 14 · Un singur punct fix
Determină termenul general al șirului $x_1=0$, $x_{n+1}=\frac{1}{2-x_n}$, $n\ge 1$.
Pasul 1. $x(2-x)=1\Rightarrow x^2-2x+1=0\Rightarrow \alpha=1$ (o singură soluție).
Pasul 2. $x_{n+1}-1=\frac{x_n-1}{2-x_n}$. Inversez:
$$\frac{1}{x_{n+1}-1}=\frac{2-x_n}{x_n-1}=\frac{1}{x_n-1}-1$$
Deci $z_{n+1}=z_n-1$, unde $z_n=\frac{1}{x_n-1}$.
Pasul 3. $z_1=-1$, deci $z_n=-n$.
Pasul 4. $x_n=1+\frac{1}{z_n}=1-\frac{1}{n}$. Verificare: $x_2=\frac{1}{2}$ și $1-\frac{1}{2}=\frac{1}{2}$ ✓.
Exemplul 15 · Fără puncte fixe (șir periodic)
Fie $x_1=1$, $x_{n+1}=-\frac{1}{x_n+1}$, $n\ge 1$. Calculăm $x_{2026}$.
Pasul 1. $x=-\frac{1}{x+1}\Rightarrow x^2+x+1=0$, $\Delta=-3<0$: nu există puncte fixe.
Pasul 2. Calculez termenii: $x_2=-\frac{1}{2}$, $x_3=-2$, $x_4=-\frac{1}{-2+1}=1=x_1$. Termenii se repetă din 3 în 3: $1; -\frac{1}{2}; -2; 1; -\frac{1}{2}; -2; \ldots$
Pasul 3. $2026=3\cdot 675+1$. Restul este 1, deci $x_{2026}=x_1=1$.
7. Monotonia și mărginirea unui șir dat prin recurență
Reamintim
Șirul $(x_n)$ este crescător dacă $x_n\le x_{n+1}$ și strict crescător dacă $x_n<x_{n+1}$, pentru orice $n$. Analog pentru descrescător și strict descrescător.
Șirul $(x_n)$ este mărginit dacă există numerele $m$ și $M$ astfel încât $m\le x_n\le M$, pentru orice $n$.
★ Metodă
Metoda · Monotonie și mărginire
- Calculez primii termeni și fac o presupunere: crește? scade? între ce valori rămâne?
- Dacă știu termenul general, studiez direct semnul diferenței $x_{n+1}-x_n$ și găsesc marginile din formulă.
- Dacă nu știu termenul general, demonstrez prin inducție o margine. Pentru o recurență cu punct fix $\alpha$, semnul lui $x_{n+1}-\alpha$ arată de ce parte a lui $\alpha$ rămâne șirul.
- Studiez semnul lui $x_{n+1}-x_n$ cu ajutorul relației și al marginii găsite.
- Scriu concluzia: șirul este (strict) crescător sau descrescător și $m\le x_n\le M$.
De reținut
- Un șir crescător este mărginit inferior de primul termen. Un șir descrescător este mărginit superior de primul termen. Rămâne de găsit o singură margine.
- Pentru un șir cu termeni pozitivi pot compara și raportul $\frac{x_{n+1}}{x_n}$ cu 1.
- Dacă $x_{n+1}-\alpha=k\cdot (x_n-\alpha)$ cu $k>0$, toți termenii sunt de aceeași parte a lui $\alpha$ ca $x_1$ (prin inducție).
Exemplul 16 · Din termenul general
Studiem monotonia și mărginirea șirului din Exemplul 14, $x_n=1-\frac{1}{n}$, $n\ge 1$.
Monotonie: $x_{n+1}-x_n=\frac{1}{n}-\frac{1}{n+1}=\frac{1}{n(n+1)}>0$, deci șirul este strict crescător.
Mărginire: șirul este crescător, deci $x_n\ge x_1=0$. Apoi $x_n=1-\frac{1}{n}<1$. Deci $0\le x_n<1$: șirul este mărginit.
Exemplul 17 · Direct din relația de recurență
Fie $x_1=6$, $x_{n+1}=\frac{5x_n+4}{x_n+2}$, $n\ge 1$. Arătăm că șirul este monoton și mărginit.
Punctele fixe: $x^2+2x=5x+4\Rightarrow x^2-3x-4=0$, deci $\alpha=4$ și $\beta=-1$.
Mărginire: $x_{n+1}-4=\frac{x_n-4}{x_n+2}$. Dacă $x_n>4$, atunci $x_{n+1}>4$. Cum $x_1=6>4$, prin inducție $x_n>4$ pentru orice $n$.
Monotonie: $x_{n+1}-x_n=\frac{5x_n+4-x_n^2-2x_n}{x_n+2}=-\frac{(x_n-4)(x_n+1)}{x_n+2}<0$, deci șirul este strict descrescător.
Concluzie: șirul este descrescător, deci $x_n\le x_1=6$. Așadar $4<x_n\le 6$: șirul este mărginit.
Atenție · Șiruri care nu sunt monotone sau nu sunt mărginite
Ca să arăți că un șir nu este monoton, ajung trei termeni, de exemplu $x_0<x_1$ și $x_1>x_2$. Ca să arăți că nu este mărginit, arată că termenii depășesc orice număr.
Exemplu: șirul din Exemplul 5, $x_n=2^n\cdot \left(\cos\frac{n\pi}{2}+\sin\frac{n\pi}{2}\right)$. Avem $x_0=1<x_1=2$ și $x_1>x_2=-4$, deci șirul nu este monoton. Pentru $n=4k$: $x_{4k}=16^k$, iar $16^k$ depășește orice număr, deci șirul nu este mărginit.
Schemă recapitulativă: cum recunosc tipul recurenței
| Tipul | Forma relației | Ce fac |
|---|---|---|
| 1 · Liniară de ordinul 1 | $x_{n+1}=a x_n+b$ | punctul fix: $\ell=a\ell+b$ apoi $x_n=\ell+(x_1-\ell)a^{n-1}$ |
| 2 · Liniară de ordinul 2 | $x_{n+2}=a x_{n+1}+b x_n$ | ecuația caracteristică $r^2=ar+b$ forma lui $x_n$ după $\Delta$ la $\Delta=0$ apare factorul $n$ |
| 3 · Aditivă, multiplicativă, mixtă | $x_{n+1}=x_n+f(n)$ $x_{n+1}=g(n)x_n$ $x_{n+1}=ax_n+(\text{ceva cu }a^n)$ |
adun relațiile înmulțesc relațiile împart la $a^{n+1}$ |
| 4 · Cu radicali | $\sqrt{\ldots}$ în relație | ridic la pătrat, caut $\left(\sqrt{x_n}\pm 1\right)^2$ sau logaritmez verific semnul |
| 5 · Polinomială | $x_{n+1}=P(x_n)$ $x_{n+1}=ax_n+P(n)$ |
$x_{n+1}+c=(x_n+c)^k$ $2x_n^2-1$ → cosinus polinomul $p_n$ |
| 6 · Omografică | $x_{n+1}=\frac{ax_n+b}{cx_n+d}$ | punctele fixe $y_n=\frac{x_n-\alpha}{x_n-\beta}$ sau $z_n=\frac{1}{x_n-\alpha}$ fără puncte fixe → perioada |
De reținut · Ideea comună
La tipurile 1, 5 și 6 caut ce rămâne neschimbat: punctul fix $\ell$, polinomul $p_n$ sau punctele fixe. Scăzându-le din relație, obțin o progresie.
★ Cel mai important
Firul logic: ce faci când întâlnești o recurență. Urmează pașii în această ordine, la fiecare problemă
- Calculez primii 3–4 termeni.
- Recunosc forma relației (tipul 1–6).
- Aleg metoda: punctul fix (sau punctele fixe), Δ, telescoparea, o substituție.
- Aflu constantele din primii termeni.
- Verific formula pe încă un termen.
- Studiez monotonia și mărginirea: din formulă sau direct din relație.
Probleme pe niveluri
La fiecare problemă scrie, pe lângă răspuns, ce tip de recurență ai recunoscut și după ce. Verifică orice formulă pe primii termeni.
Nivel de bază
-
Clasifică fiecare recurență (tipul 1–6 sau progresie) și scrie primul pas al metodei:
a) $x_{n+1}=x_n+n^2$;
b) $x_{n+1}=7x_n-6$;
c) $x_{n+2}=4x_{n+1}-3x_n$;
d) $x_{n+1}=\sqrt{x_n^2+7}$;
e) $x_{n+1}=x_n^2+4x_n+2$;
f) $x_{n+2}=2x_{n+1}-5x_n$;
g) $x_{n+1}=5x_n+2n-1$;
h) $x_{n+1}=5x_n+5^n$;
i) $x_{n+1}=\frac{2x_n+1}{x_n+2}$.
-
Determină termenul general ($n\ge 1$):
a) $x_1=2$, $x_{n+1}=x_n+5$;
b) $x_1=3$, $x_{n+1}=-2x_n$;
c) $x_1=4$, $x_{n+1}=2x_n-3$;
d) $x_1=2$, $x_{n+1}=4x_n-3$.
-
Fie $x_1=0$ și $x_{n+1}=\frac{1}{3}x_n+2$, $n\ge 1$.
a) Determină termenul general.
b) Arată că șirul este strict crescător și că $0\le x_n<3$, pentru orice $n\ge 1$.
-
Determină $a\in \mathbb{R}$ astfel încât șirul $x_1=2$, $x_{n+1}=a\cdot x_n+6$ să fie constant.
-
Scrie ecuația caracteristică, calculează $\Delta$ și scrie forma lui $x_n$ (fără să afli $A$ și $B$):
a) $x_{n+2}=7x_{n+1}-12x_n$;
b) $x_{n+2}=10x_{n+1}-25x_n$;
c) $x_{n+2}=-9x_n$.
-
Determină termenul general ($n\in \mathbb{N}$):
a) $x_0=0$, $x_1=1$, $x_{n+2}=3x_{n+1}-2x_n$;
b) $x_0=2$, $x_1=1$, $x_{n+2}=x_{n+1}+6x_n$;
c) $x_0=0$, $x_1=5$, $x_{n+2}=3x_{n+1}+4x_n$;
d) $x_0=1$, $x_1=5$, $x_{n+2}=4x_{n+1}-3x_n$.
-
Fie $x_0=3$, $x_1=6$ și $x_{n+2}=5x_{n+1}-4x_n$, $n\in \mathbb{N}$.
a) Determină $x_n$.
b) Arată că șirul este strict crescător. Este șirul mărginit?
-
Determină termenul general ($n\in \mathbb{N}$):
a) $x_0=2$, $x_1=9$, $x_{n+2}=6x_{n+1}-9x_n$;
b) $x_0=1$, $x_1=15$, $x_{n+2}=10x_{n+1}-25x_n$.
-
Determină termenul general ($n\ge 1$):
a) $x_1=2$, $x_{n+1}=x_n+4n$;
b) $x_1=0$, $x_{n+1}=x_n+2^n$.
-
Determină termenul general ($n\ge 1$), apoi studiază monotonia și mărginirea șirului:
a) $x_1=1$, $x_{n+1}=(n+1)\cdot x_n$;
b) $x_1=1$, $x_{n+1}=\frac{n}{n+1}\cdot x_n$.
-
Fie șirul cu termeni pozitivi $x_1=2$, $x_{n+1}=\sqrt{x_n^2+5}$, $n\ge 1$.
a) Determină termenul general.
b) Arată că șirul este strict crescător.
-
Determină punctele fixe. Spune ce substituție folosești:
a) $x_{n+1}=\frac{x_n+6}{x_n}$;
b) $x_{n+1}=\frac{4x_n-1}{x_n+2}$;
c) $x_{n+1}=\frac{2x_n+1}{x_n+2}$.
-
Fie $x_1=3$ și $x_{n+1}=\frac{5x_n-4}{x_n+1}$, $n\ge 1$.
a) Arată că ecuația punctelor fixe are o singură soluție.
b) Arată că $z_n=\frac{1}{x_n-2}$ este o progresie aritmetică.
c) Determină $x_n$.
d) Studiază monotonia și mărginirea șirului.
-
Fie $x_1=0$ și $x_{n+1}=\frac{x_n-3}{x_n-2}$, $n\ge 1$.
a) Arată că nu există puncte fixe.
b) Calculează $x_2$, $x_3$, $x_4$. Ce observi?
c) Calculează $x_{2027}$.
Nivel consolidat
-
Se dă relația $x_{n+1}=4x_n-9$, $n\ge 1$.
a) Determină $x_1$ astfel încât șirul să fie constant.
b) Pentru $x_1=5$, determină termenul general.
-
Fie $x_0=1$ și $x_{n+1}=5-x_n$, $n\in \mathbb{N}$.
a) Determină termenul general și explică de ce termenii se repetă.
b) Este șirul monoton? Este mărginit?
-
Determină termenul general al șirului $x_1=1$, $x_2=0$, $x_{n+2}=-2x_{n+1}-x_n$, $n\ge 1$.
-
Fie $x_0=1$, $x_1=0$ și $x_{n+2}=-6x_{n+1}-9x_n$, $n\in \mathbb{N}$.
a) Determină $x_n$. Indicație: rădăcina dublă este negativă.
b) Arată că șirul nu este monoton.
-
Fie $x_0=1$, $x_1=-1$ și $x_{n+2}=-2x_{n+1}-2x_n$, $n\in \mathbb{N}$.
a) Arată că $r_{1,2}=-1\pm i=\sqrt{2}\left(\cos\frac{3\pi}{4}\pm i\sin\frac{3\pi}{4}\right)$.
b) Determină $x_n$.
-
Determină termenul general al șirului $x_0=1$, $x_1=1$, $x_{n+2}=2x_{n+1}-4x_n$, $n\in \mathbb{N}$.
-
Fie $x_0=1$, $x_1=2$ și $x_{n+2}=-x_{n+1}-x_n$, $n\in \mathbb{N}$.
a) Calculează $x_2$, $x_3$, $x_4$, $x_5$. Ce observi?
b) Arată că $x_{n+3}=x_n$ pentru orice $n$.
c) Calculează $x_{2026}$ și suma $x_0+x_1+\ldots+x_{29}$.
d) Arată că șirul este mărginit, dar nu este monoton.
-
Fie $x_0=2$, $x_1=1$ și $x_{n+2}=x_{n+1}-x_n$, $n\in \mathbb{N}$.
a) Calculează $x_2; x_3; \ldots; x_7$. Ce observi?
b) Determină termenul general.
c) Calculează $x_{2026}$.
-
Determină termenul general ($n\ge 1$):
a) $x_1=1$, $x_{n+1}=x_n+\frac{1}{n(n+1)}$;
b) $x_1=1$, $x_{n+1}=x_n+3n^2+3n+1$. Indicație: calculează $(k+1)^3-k^3$.
c) Arată că șirul de la a) este strict crescător și mărginit.
-
Determină termenul general al șirului $x_1=1$, $x_{n+1}=x_n+n\cdot n!$, $n\ge 1$. Indicație: $(k+1)!-k!=k\cdot k!$.
-
Determină termenul general ($n\ge 1$):
a) $x_1=1$, $x_{n+1}=3x_n+3^{n+1}$;
b) $x_1=1$, $x_{n+1}=(n+1)\cdot x_n+(n+1)!$.
-
Determină termenul general ($n\ge 1$, termeni pozitivi):
a) $x_1=1$, $x_{n+1}=\sqrt{2x_n^2+1}$;
b) $x_1=1$, $x_{n+1}=x_n+4\sqrt{x_n}+4$;
c) $x_1=3$, $x_{n+1}=3\sqrt{x_n}$;
d) $x_1=2$, $x_{n+1}=\sqrt{x_n}$.
e) Arată că șirul de la c) este strict crescător și că $3\le x_n<9$.
-
Determină termenul general ($n\ge 1$):
a) $x_1=3$, $x_{n+1}=x_n^2-2x_n+2$;
b) $x_1=1$, $x_{n+1}=3x_n-2n$.
-
Fie $x_1=2$ și $x_{n+1}=\frac{3x_n+2}{x_n+4}$, $n\ge 1$.
a) Arată că $y_n=\frac{x_n-1}{x_n+2}$ este o progresie geometrică.
b) Determină $x_n$.
c) Arată că $1<x_n\le 2$, pentru orice $n\ge 1$.
d) Arată că șirul este strict descrescător.
-
Fie $x_1=0$ și $x_{n+1}=\frac{x_n+6}{x_n+2}$, $n\ge 1$.
a) Calculează $x_2$ și $x_3$.
b) Arată că $y_n=\frac{x_n-2}{x_n+3}$ este o progresie geometrică și determină $x_n$.
c) Arată că șirul nu este monoton.
d) Arată că $0\le x_n\le 3$, pentru orice $n\ge 1$.
-
Fie $x_1=1$ și $x_{n+1}=\frac{3x_n+4}{x_n+3}$, $n\ge 1$.
a) Arată că $1\le x_n<2$, pentru orice $n\ge 1$. Indicație: calculează $x_{n+1}-2$.
b) Arată că șirul este strict crescător. Indicație: calculează $x_{n+1}-x_n$.
-
Fie $x_1=2$ și $x_{n+1}=\frac{3x_n-1}{x_n+1}$, $n\ge 1$.
a) Arată că ecuația punctelor fixe are o singură soluție.
b) Determină $x_n$.
c) Arată, folosind formula de la b), că șirul este strict descrescător și că $1<x_n\le 2$.
-
Fie $x_1=2$ și $x_{n+1}=\frac{1+x_n}{1-x_n}$, $n\ge 1$.
a) Arată că nu există puncte fixe.
b) Calculează $x_2$, $x_3$, $x_4$, $x_5$. Din câți în câți termeni se repetă șirul?
c) Calculează $x_{2026}$.
Nivel avansat
-
Determină termenul general al șirului $x_1=1$, $x_{n+1}=x_n+\frac{1}{\sqrt{n+1}+\sqrt{n}}$, $n\ge 1$.
-
Determină termenul general ($n\ge 1$):
a) $x_1=3$, $x_{n+1}=3^n\cdot x_n$;
b) $x_1=1$, $x_{n+1}=\left(1-\frac{1}{(n+1)^2}\right)\cdot x_n$.
c) Arată că șirul de la b) este strict descrescător și mărginit.
-
Determină termenul general al șirului $x_1=1$, $x_{n+1}=x_n^3+3x_n^2+3x_n$, $n\ge 1$.
-
Se dă șirul $x_1=\frac{\sqrt{3}}{2}$, $x_{n+1}=2x_n^2-1$, $n\ge 1$. Determină termenul general și explică de ce, de la un rang încolo, șirul este constant.
-
Fie $x_1=\frac{1}{2}$ și $x_{n+1}=\sqrt{\frac{1+x_n}{2}}$, $n\ge 1$.
a) Determină termenul general. Indicație: $1+\cos{2t}=2\cos^2{t}$.
b) Arată că șirul este strict crescător și că $\frac{1}{2}\le x_n<1$.
-
Determină termenul general al șirului $x_0=0$, $x_{n+1}=2x_n+n^2$, $n\in \mathbb{N}$.
-
Șirul lui Fibonacci: $F_0=0$, $F_1=1$, $F_{n+2}=F_{n+1}+F_n$, $n\in \mathbb{N}$.
a) Arată că $F_n=\frac{1}{\sqrt{5}}\left[\left(\frac{1+\sqrt{5}}{2}\right)^n-\left(\frac{1-\sqrt{5}}{2}\right)^n\right]$.
b) Arată că șirul este crescător și că $F_n\ge n-1$, pentru orice $n\ge 1$. Este șirul mărginit?
-
Fie $x_0=2$, $x_1=2$ și $x_{n+2}=2x_{n+1}+x_n$, $n\in \mathbb{N}$.
a) Arată că $x_n=\left(1+\sqrt{2}\right)^n+\left(1-\sqrt{2}\right)^n$.
b) Explică de ce toți termenii șirului sunt numere întregi.
-
Fie relația $x_{n+2}=m\cdot x_{n+1}-36x_n$, $n\in \mathbb{N}$, cu $m>0$.
a) Determină $m$ pentru care ecuația caracteristică are o rădăcină dublă.
b) Pentru această valoare și $x_0=1$, $x_1=12$, determină $x_n$.
-
Fie $x_1=1$ și $x_{n+1}=\frac{2x_n+3}{x_n+2}$, $n\ge 1$.
a) Calculează $x_2$ și $x_3$.
b) Arată că $1\le x_n<\sqrt{3}$, pentru orice $n\ge 1$, și că șirul este strict crescător.
c) Determină $x_n$. Indicație: folosește $y_n=\frac{x_n-\sqrt{3}}{x_n+\sqrt{3}}$.
-
Fie $x_1=1$ și $x_{n+1}=\frac{x_n+\sqrt{3}}{1-\sqrt{3}\cdot x_n}$, $n\ge 1$.
a) Calculează $x_2$, $x_3$, $x_4$ și $x_{2026}$.
b) Scrie $x_1=\operatorname{tg}\frac{\pi}{4}$ și $\sqrt{3}=\operatorname{tg}\frac{\pi}{3}$. Ce legătură vezi cu formula pentru $\operatorname{tg}(a+b)$?
-
Găsește greșeala. Un elev scrie: „$x_1=1$, $x_{n+1}=x_n+2n$. Am calculat $x_2=3$ și $x_3=7$. Deci $x_n=2^n-1$.”
a) Indică primul pas greșit și dă un contraexemplu.
b) Scrie formula corectă.
-
Provocare. Pentru $x_1=3$, $x_{n+1}=x_n^2-2$, $n\ge 1$, arată că $x_n=t^{2^{n-1}}+t^{-2^{n-1}}$, unde $t+\frac{1}{t}=3$.
Recurențe din viața reală
Situațiile de mai jos sunt inventate, dar seamănă cu cele pe care le întâlnești în jurul tău. Traduci o poveste într-o relație de recurență și o folosești ca să prezici ce urmează.
A. Economii. Pui 1000 de lei într-un cont cu dobândă de 5% pe an și, la sfârșitul fiecărui an, mai adaugi 200 de lei. Notează cu $s_n$ suma după $n$ ani ($s_0=1000$).
B. Medicament. Un pacient ia în fiecare dimineață 100 mg dintr-un medicament. În 24 de ore, organismul elimină jumătate din cantitatea existentă. Notează cu $m_n$ cantitatea imediat după a $n$-a doză.
C. Pești în lac. Într-un lac sunt 1000 de pești. În fiecare an populația crește cu 20%, apoi se pescuiesc 300 de pești. Notează cu $p_n$ numărul de pești după $n$ ani ($p_0=1000$).
D. Turnurile din Hanoi. Pentru a muta un turn de $n+1$ discuri, muți turnul de deasupra ($n$ discuri), apoi discul mare, apoi din nou turnul de $n$ discuri. Notează cu $h_n$ numărul de mutări pentru $n$ discuri ($h_1=1$).
Pentru fiecare situație
1. Scrie relația de recurență și primul termen.
2. Recunoaște tipul și determină termenul general.
3. Verifică formula pe primii doi termeni, calculați direct din poveste.
4. Studiază monotonia și mărginirea șirului. (B: arată că $m_n<200$ pentru orice $n$. C: în al câtelea an se termină peștii?)