Notații
$S_{n}$ – mulțimea permutărilor de grad $n$; $e$ – permutarea identică; $m(\sigma)$ – numărul inversiunilor permutării $\sigma$; $\varepsilon(\sigma) = ( - 1)^{m(\sigma)}$ – semnul permutării $\sigma$; $\sigma\tau = \sigma \circ \tau$, unde $(\sigma \circ \tau)(k) = \sigma(\tau(k))$.
Nivelul I – probleme de bază (problemele 1–17)
-
a) Scrieți toate elementele mulțimii $S_{3}$.
b) Câte elemente au mulțimile $S_{4}$ și $S_{5}$?
-
Se consideră funcțiile $f,g:\{ 1,2,3,4\} \rightarrow \{ 1,2,3,4\}$, unde $f(x)$ este restul împărțirii lui $3x$ la 5, iar $g(x)$ este restul împărțirii lui $x^{2}$ la 5. Stabiliți care dintre ele este permutare și scrieți-o sub forma unui tabel cu două linii.
-
Fie $\sigma = \begin{pmatrix} 1 & 2 & 3 & 4 \\ 3 & 1 & 4 & 2 \end{pmatrix} \in S_{4}$. Calculați $\sigma(1) + \sigma(4)$, $\sigma(\sigma(2))$ și $\sigma^{- 1}(4)$.
-
Determinați numerele naturale $x$ și $y$ pentru care $\begin{pmatrix} 1 & 2 & 3 & 4 \\ x + y & 4 & x - y & 2 \end{pmatrix} \in S_{4}$.
-
Determinați numerele reale $a$, $b$, $c$ pentru care $\begin{pmatrix} 1 & 2 & 3 \\ 2a - 1 & b + 1 & c \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 1 & 2 & 3 \\ 3 & 1 & 2 \end{pmatrix}$.
-
Fie $\sigma = \begin{pmatrix} 1 & 2 & 3 \\ 2 & 3 & 1 \end{pmatrix}$ și $\tau = \begin{pmatrix} 1 & 2 & 3 \\ 1 & 3 & 2 \end{pmatrix}$. Calculați $\sigma\tau$ și $\tau\sigma$. Este compunerea permutărilor comutativă? Verificați că $(\sigma\tau)\sigma = \sigma(\tau\sigma)$.
-
Fie $\sigma = \begin{pmatrix} 1 & 2 & 3 & 4 \\ 2 & 3 & 4 & 1 \end{pmatrix}$. Calculați $\sigma^{2}$, $\sigma^{3}$ și $\sigma^{4}$.
-
Determinați inversa permutării $\sigma = \begin{pmatrix} 1 & 2 & 3 & 4 & 5 \\ 3 & 5 & 1 & 2 & 4 \end{pmatrix}$ și verificați că $\sigma\sigma^{- 1} = e$.
-
Determinați numărul inversiunilor și semnul permutării $\sigma = \begin{pmatrix} 1 & 2 & 3 & 4 & 5 \\ 2 & 5 & 3 & 1 & 4 \end{pmatrix}$.
-
Stabiliți paritatea permutărilor: $e \in S_{5}$, $\alpha = \begin{pmatrix} 1 & 2 & 3 & 4 \\ 4 & 3 & 2 & 1 \end{pmatrix}$ și $\beta = \begin{pmatrix} 1 & 2 & 3 & 4 & 5 \\ 1 & 4 & 3 & 2 & 5 \end{pmatrix}$.
-
Fie $\tau \in S_{4}$ transpoziția care schimbă între ele numerele 1 și 4. Scrieți $\tau$ sub formă de tabel, calculați $\tau^{2}$, $\tau^{- 1}$ și $\varepsilon(\tau)$.
-
Calculați $m(\sigma)$ și $\varepsilon(\sigma)$ pentru $\sigma = \begin{pmatrix} 1 & 2 & 3 & 4 & 5 & 6 \\ 6 & 5 & 4 & 3 & 2 & 1 \end{pmatrix}$.
-
Fie $\sigma = \begin{pmatrix} 1 & 2 & 3 \\ 3 & 1 & 2 \end{pmatrix}$. Calculați $\sigma^{- 1}$ și $\sigma^{2}$. Arătați că $\sigma^{2} = \sigma^{- 1}$ și $\sigma^{3} = e$.
-
Rezolvați în $S_{3}$ ecuația $\sigma x = \tau$, unde $\sigma = \begin{pmatrix} 1 & 2 & 3 \\ 2 & 3 & 1 \end{pmatrix}$ și $\tau = \begin{pmatrix} 1 & 2 & 3 \\ 3 & 2 & 1 \end{pmatrix}$.
-
Rezolvați în $S_{3}$ ecuația $x\sigma = \tau$, unde $\sigma = \begin{pmatrix} 1 & 2 & 3 \\ 2 & 3 & 1 \end{pmatrix}$ și $\tau = \begin{pmatrix} 1 & 2 & 3 \\ 3 & 2 & 1 \end{pmatrix}$. Comparați soluția cu cea de la problema 14.
-
Fie $\sigma = \begin{pmatrix} 1 & 2 & 3 & 4 \\ 2 & 4 & 1 & 3 \end{pmatrix}$ și $\tau = \begin{pmatrix} 1 & 2 & 3 & 4 \\ 1 & 3 & 4 & 2 \end{pmatrix}$. Calculați $\sigma\tau$ și verificați egalitatea $\varepsilon(\sigma\tau) = \varepsilon(\sigma) \cdot \varepsilon(\tau)$.
-
a) Câte permutări $\sigma \in S_{4}$ verifică $\sigma(1) = 1$?
b) Câte permutări $\sigma \in S_{4}$ verifică $\sigma(1) = 2$ și $\sigma(2) = 1$?
c) Scrieți toate transpozițiile din $S_{4}$.
Nivelul II – probleme de nivel mediu (problemele 18–35)
-
Fie $\sigma = \begin{pmatrix} 1 & 2 & 3 & 4 \\ 2 & 1 & 4 & 3 \end{pmatrix}$. Arătați că $\sigma^{2} = e$ și calculați $\sigma^{2026}$ și $\sigma^{2027}$.
-
Fie $\sigma = \begin{pmatrix} 1 & 2 & 3 & 4 \\ 2 & 3 & 4 & 1 \end{pmatrix}$. Arătați că $\sigma^{4} = e$ și calculați $\sigma^{2026}$.
-
Fie $\sigma = \begin{pmatrix} 1 & 2 & 3 & 4 & 5 & 6 \\ 2 & 1 & 4 & 5 & 3 & 6 \end{pmatrix}$. Determinați cel mai mic număr natural nenul $k$ pentru care $\sigma^{k} = e$ și calculați $\sigma^{100}$.
-
Rezolvați în $S_{4}$ ecuația $axb = c$, unde $a = \begin{pmatrix} 1 & 2 & 3 & 4 \\ 2 & 3 & 1 & 4 \end{pmatrix}$, $b = \begin{pmatrix} 1 & 2 & 3 & 4 \\ 1 & 3 & 4 & 2 \end{pmatrix}$, $c = \begin{pmatrix} 1 & 2 & 3 & 4 \\ 4 & 3 & 2 & 1 \end{pmatrix}$.
-
Fie $n \geq 2$ și $\sigma = \begin{pmatrix} 1 & 2 & 3 & \ldots & n \\ n & n - 1 & n - 2 & \ldots & 1 \end{pmatrix}$. Determinați $m(\sigma)$ și stabiliți pentru ce valori ale lui $n$ permutarea $\sigma$ este pară.
-
Scrieți permutarea $\sigma = \begin{pmatrix} 1 & 2 & 3 & 4 & 5 \\ 3 & 5 & 4 & 1 & 2 \end{pmatrix}$ ca produs de transpoziții și deduceți semnul ei. Verificați rezultatul numărând inversiunile.
-
Arătați că $\varepsilon(\sigma^{- 1}) = \varepsilon(\sigma)$, pentru orice $\sigma \in S_{n}$. Verificați pentru $\sigma = \begin{pmatrix} 1 & 2 & 3 & 4 & 5 \\ 4 & 1 & 5 & 2 & 3 \end{pmatrix}$.
-
Determinați toate permutările $x \in S_{3}$ pentru care $x^{2} = e$.
-
Determinați toate permutările $x \in S_{3}$ pentru care $x^{3} = e$.
-
Determinați permutările $\sigma \in S_{3}$ care verifică $\sigma\tau = \tau\sigma$, unde $\tau = \begin{pmatrix} 1 & 2 & 3 \\ 2 & 1 & 3 \end{pmatrix}$.
-
a) Câte permutări pare conține $S_{4}$?
b) Câte permutări din $S_{4}$ au exact două inversiuni? Scrieți-le.
-
Determinați $a,b \in \{ 2,5\}$, $a \neq b$, astfel încât permutarea $\sigma = \begin{pmatrix} 1 & 2 & 3 & 4 & 5 \\ 4 & a & 1 & b & 3 \end{pmatrix}$ să fie pară.
-
Fie $\sigma = \begin{pmatrix} 1 & 2 & 3 & 4 & 5 \\ 2 & 3 & 1 & 5 & 4 \end{pmatrix}$ și $\tau = \begin{pmatrix} 1 & 2 & 3 & 4 & 5 \\ 3 & 2 & 1 & 4 & 5 \end{pmatrix}$. Calculați $\varepsilon(\sigma^{2026}\tau^{- 1})$.
-
Rezolvați în $S_{3}$ ecuația $x^{2} = \sigma$, unde $\sigma = \begin{pmatrix} 1 & 2 & 3 \\ 2 & 3 & 1 \end{pmatrix}$.
-
Determinați numărul inversiunilor și semnul permutării $\sigma = \begin{pmatrix} 1 & 2 & 3 & 4 & 5 & 6 \\ 2 & 4 & 6 & 1 & 3 & 5 \end{pmatrix}$.
-
a) Arătați că, pentru orice transpoziție $\tau \in S_{n}$, avem $\tau^{2} = e$ și $\tau^{- 1} = \tau$.
b) Arătați că $S_{n}$ conține $\frac{n(n - 1)}{2}$ transpoziții.
c) Determinați $n$ știind că $S_{n}$ conține 28 de transpoziții.
-
Fie $\sigma = \begin{pmatrix} 1 & 2 & 3 & 4 \\ 2 & 4 & 3 & 1 \end{pmatrix}$ și $\tau = \begin{pmatrix} 1 & 2 & 3 & 4 \\ 4 & 3 & 2 & 1 \end{pmatrix}$. Calculați $\sigma^{3}$ și rezolvați în $S_{4}$ ecuația $\sigma^{2}x = \tau$.
-
Arătați că ecuația $x^{2} = \begin{pmatrix} 1 & 2 & 3 \\ 2 & 1 & 3 \end{pmatrix}$ nu are soluții în $S_{3}$.
Nivelul III – probleme de aprofundare (problemele 36–50)
-
Fie $n \in {\mathbb{N}}^{*}$ și $\sigma = \begin{pmatrix} 1 & 2 & \ldots & n & n + 1 & n + 2 & \ldots & 2n \\ 2 & 4 & \ldots & 2n & 1 & 3 & \ldots & 2n - 1 \end{pmatrix} \in S_{2n}$.
a) Arătați că $m(\sigma) = \frac{n(n + 1)}{2}$.
b) Stabiliți semnul lui $\sigma$ pentru $n = 2026$.
-
Rezolvați în $S_{4}$ ecuația $x^{2} = \begin{pmatrix} 1 & 2 & 3 & 4 \\ 3 & 4 & 1 & 2 \end{pmatrix}$.
-
Determinați permutările $x \in S_{3}$ pentru care $x^{2027} = \begin{pmatrix} 1 & 2 & 3 \\ 2 & 3 & 1 \end{pmatrix}$.
-
Arătați că $\sigma^{12} = e$, pentru orice $\sigma \in S_{4}$. Există un număr natural $1 \leq k < 12$ cu proprietatea că $\sigma^{k} = e$ pentru orice $\sigma \in S_{4}$?
-
Câte permutări $\sigma \in S_{6}$ verifică $\sigma(1) < \sigma(2) < \sigma(3)$?
-
Un număr $i$ se numește punct fix al permutării $\sigma$ dacă $\sigma(i) = i$. Câte permutări din $S_{4}$ nu au niciun punct fix? Dar din $S_{5}$?
-
Determinați $n \in {\mathbb{N}}$, $n \geq 2$, știind că permutarea $\begin{pmatrix} 1 & 2 & \ldots & n - 1 & n \\ n & n - 1 & \ldots & 2 & 1 \end{pmatrix}$ are 45 de inversiuni.
-
Fie $n \geq 2$ și $\tau \in S_{n}$ o transpoziție. Arătați că funcția $f:S_{n} \rightarrow S_{n}$, $f(\sigma) = \tau\sigma$ este bijectivă și transformă permutările pare în permutări impare. Deduceți că $S_{n}$ conține $\frac{n!}{2}$ permutări pare și $\frac{n!}{2}$ permutări impare.
-
Fie $A_{n}$ mulțimea permutărilor pare din $S_{n}$. Arătați că dacă $\sigma,\tau \in A_{n}$, atunci $\sigma\tau \in A_{n}$ și $\sigma^{- 1} \in A_{n}$.
-
Arătați că pentru orice $\sigma \in S_{n}$ există $k \in {\mathbb{N}}^{*}$ astfel încât $\sigma^{k} = e$.
-
Determinați permutările $\sigma \in S_{3}$ care verifică $\sigma x = x\sigma$, pentru orice $x \in S_{3}$.
-
Arătați că ecuația $x^{2} = \begin{pmatrix} 1 & 2 & 3 & 4 \\ 2 & 3 & 4 & 1 \end{pmatrix}$ nu are soluții în $S_{4}$.
-
Fie $\sigma \in S_{n}$ și $\rho = \begin{pmatrix} 1 & 2 & \ldots & n \\ n & n - 1 & \ldots & 1 \end{pmatrix}$. Arătați că $m(\sigma\rho) = \frac{n(n - 1)}{2} - m(\sigma)$.
-
Se consideră permutarea $\sigma = \begin{pmatrix} 1 & 2 & 3 & 4 & 5 \\ 2 & 3 & 1 & 5 & 4 \end{pmatrix}$.
a) Determinați numărul inversiunilor și semnul lui $\sigma$.
b) Arătați că $\sigma^{6} = e$.
c) Calculați $\sigma^{2026}$.
d) Arătați că ecuația $x^{2} = \sigma$ nu are soluții în $S_{5}$.
-
Se consideră permutarea $\sigma = \begin{pmatrix} 1 & 2 & 3 & 4 \\ 3 & 4 & 2 & 1 \end{pmatrix}$.
a) Determinați $\sigma^{- 1}$.
b) Determinați numărul permutărilor $x \in S_{4}$ pentru care $\varepsilon(x\sigma) = 1$.
c) Rezolvați în $S_{4}$ ecuația $\sigma x\sigma = e$.