Legătura cu programa
Mulțimea numerelor reale, modulul (definiție, proprietăți, interpretare ca distanță), intervalele și inecuațiile în $\mathbb{R}$ sunt achiziții din clasele a VII-a – a VIII-a, pe care le reactivăm la începutul clasei a IX-a.
Partea întreagă și partea fracționară sunt noțiuni noi. Programa de clasa a IX-a le prevede ca exemple de funcții (funcția modul, funcția parte întreagă, funcția parte fracționară) în Unitatea de învățare 4 – Funcții. Proprietăți generale. Aici lucrăm cu ele ca numere; graficele și proprietățile lor ca funcții se studiază în Unitatea 4.
1. Mulțimi de numere
- ${\mathbb{N}} = \{ 0,\ 1,\ 2,\ 3,\ \ldots\}$ – numerele naturale; ${\mathbb{Z}} = \{\ldots,\ - 2,\ - 1,\ 0,\ 1,\ 2,\ \ldots\}$ – numerele întregi;
- ${\mathbb{Q}} = \{\frac{a}{b}\text{ | }a \in {\mathbb{Z}},\ b \in {\mathbb{Z}}^{*}\}$ – numerele raționale (scriere zecimală finită sau periodică);
- ${\mathbb{R}} \smallsetminus {\mathbb{Q}}$ – numerele iraționale (scriere zecimală infinită și neperiodică), de exemplu $\sqrt{2}$, $\sqrt{3}$, $\pi$;
- ${\mathbb{N}} \subset {\mathbb{Z}} \subset {\mathbb{Q}} \subset {\mathbb{R}}$; notații: ${\mathbb{R}}^{*} = {\mathbb{R}} \smallsetminus \{ 0\}$, ${\mathbb{R}}_{+} = (0,\ + \infty)$ (numerele reale strict pozitive, fără $0$), ${\mathbb{R}}_{-} = ( - \infty,\ 0)$ (numerele reale strict negative, fără $0$).
2. Relația de ordine pe ℝ. Intervale
2.1. Proprietăți ale inegalităților
Pentru orice $a,\ b,\ c,\ d \in {\mathbb{R}}$:
- $a \leq b$ și $b \leq c$ $\Rightarrow$ $a \leq c$ (tranzitivitate); $a \leq b$ $\Rightarrow$ $a + c \leq b + c$;
- $a \leq b$ și $c \leq d$ $\Rightarrow$ $a + c \leq b + d$ (inegalitățile de același sens se adună);
- $a \leq b$ și $c > 0$ $\Rightarrow$ $ac \leq bc$; $a \leq b$ și $c < 0$ $\Rightarrow$ $ac \geq bc$ (se schimbă sensul inegalității!);
- $0 < a \leq b$ $\Rightarrow$ $\frac{1}{a} \geq \frac{1}{b}$; $x^{2} \geq 0$ pentru orice $x \in {\mathbb{R}}$, iar $x^{2} = 0 \Leftrightarrow x = 0$.
2.2. Intervale de numere reale
Fie $a,\ b \in {\mathbb{R}}$, $a < b$.
| Tipul intervalului | Notația | Mulțimea |
|---|---|---|
| închis | $$\lbrack a,\ b\rbrack$$ | $$\{ x \in {\mathbb{R}}\text{ | }a \leq x \leq b\}$$ |
| deschis | $$(a,\ b)$$ | $$\{ x \in {\mathbb{R}}\text{ | }a < x < b\}$$ |
| semideschis |
$$\lbrack a,\ b)$$ $$(a,\ b\rbrack$$ |
$$\{ x \in {\mathbb{R}}\text{ | }a \leq x < b\}$$ $$\{ x \in {\mathbb{R}}\text{ | }a < x \leq b\}$$ |
| nemărginit |
$\lbrack a,\ + \infty)$, $(a,\ + \infty)$ $( - \infty,\ b\rbrack$, $( - \infty,\ b)$ |
$\{ x \in {\mathbb{R}}\text{ | }x \geq a\}$, $\{ x \in {\mathbb{R}}\text{ | }x > a\}$ $\{ x \in {\mathbb{R}}\text{ | }x \leq b\}$, $\{ x \in {\mathbb{R}}\text{ | }x < b\}$ |
Exemplu
Pentru $A = \lbrack - 2,\ 3)$ și $B = (1,\ 5\rbrack$: $A \cap B = (1,\ 3)$, $A \cup B = \lbrack - 2,\ 5\rbrack$, $A \smallsetminus B = \lbrack - 2,\ 1\rbrack$, $B \smallsetminus A = \lbrack 3,\ 5\rbrack$.
La $\pm \infty$ intervalul este întotdeauna deschis: scriem $\lbrack a,\ + \infty)$, niciodată $\lbrack a,\ + \infty\rbrack$.
3. Modulul unui număr real
3.1. Definiție. Interpretare geometrică
Definiție
Modulul (valoarea absolută) a numărului real $x$ este:
$$|x| = \left\{ \begin{matrix} x,\ & \text{dacă }x \geq 0 \\ - x,\ & \text{dacă }x < 0 \end{matrix} \right.$$
- $|x|$ este distanța de la punctul de coordonată $x$ la originea axei; $|x - a|$ este distanța dintre punctele de coordonate $x$ și $a$.
- Exemple: $| - 5| = 5$; $|0| = 0$; $\left| \sqrt{2} - 2 \right| = 2 - \sqrt{2}$ (deoarece $\sqrt{2} < 2$); $|\pi - 3| = \pi - 3$ (deoarece $\pi > 3$).
3.2. Proprietățile modulului
Pentru orice $x,\ y \in {\mathbb{R}}$ și $a > 0$:
| Nr. | Proprietatea | Observații / exemple |
|---|---|---|
| 1 | $|x| \geq 0$; $|x| = 0 \Leftrightarrow x = 0$ | $\left| E(x) \right| = - 3$ nu are soluții |
| 2 | $| - x| = |x|$; $- |x| \leq x \leq |x|$ | $$|3 - x| = |x - 3|$$ |
| 3 | $|x \cdot y| = |x| \cdot |y|$; $\left| \frac{x}{y} \right| = \frac{|x|}{|y|}$, $y \neq 0$ | $$| - 2x| = 2|x|$$ |
| 4 | $|x|^{2} = x^{2}$; $\sqrt{x^{2}} = |x|$ | $$\sqrt{\left( 1 - \sqrt{3} \right)^{2}} = \sqrt{3} - 1$$ |
| 5 | $|x + y| \leq |x| + |y|$ (inegalitatea triunghiului) | egalitate $\Leftrightarrow$ $xy \geq 0$ |
| 6 | $$\left| |x| - |y| \right| \leq |x - y|$$ | se obține din proprietatea 5 |
| 7 | $|x| = |y|$ $\Leftrightarrow$ $x = y$ sau $x = - y$ | $|x| = |y|$ $\Leftrightarrow$ $x^{2} = y^{2}$ |
| 8 | $|x| \leq a$ $\Leftrightarrow$ $- a \leq x \leq a$ $\Leftrightarrow$ $x \in \lbrack - a,\ a\rbrack$ | $|x| < a$ $\Leftrightarrow$ $x \in ( - a,\ a)$ |
| 9 | $|x| \geq a$ $\Leftrightarrow$ $x \leq - a$ sau $x \geq a$ | $$x \in ( - \infty,\ - a\rbrack \cup \lbrack a,\ + \infty)$$ |
3.3. Calcule: eliminarea modulului
Stabilim semnul expresiei din modul (comparând numerele), apoi aplicăm definiția.
Exemplul 1
$a = \left| \sqrt{3} - 2 \right| + \left| 1 - \sqrt{3} \right|$. Cum $\sqrt{3} < 2$ și $\sqrt{3} > 1$: $a = \left( 2 - \sqrt{3} \right) + \left( \sqrt{3} - 1 \right) = 1 \in {\mathbb{N}}$.
Exemplul 2
Pentru $x \in \lbrack - 2,\ 1\rbrack$: $x - 1 \leq 0$ și $x + 2 \geq 0$, deci $|x - 1| + |x + 2| = (1 - x) + (x + 2) = 3$ (nu depinde de $x$).
Exemplul 3
$\sqrt{\left( \sqrt{5} - 3 \right)^{2}} + \sqrt{\left( \sqrt{5} - 2 \right)^{2}} = \left| \sqrt{5} - 3 \right| + \left| \sqrt{5} - 2 \right| = 3 - \sqrt{5} + \sqrt{5} - 2 = 1$.
3.4. Ecuații cu modul
| Tipul ecuației | Metoda de rezolvare |
|---|---|
| $$\left| E(x) \right| = a$$ |
$a < 0$: $S = \varnothing$; $a = 0$: $E(x) = 0$; $a > 0$: $E(x) = a$ sau $E(x) = - a$. |
| $$\left| E(x) \right| = \left| F(x) \right|$$ | $E(x) = F(x)$ sau $E(x) = - F(x)$. |
| $$\left| E(x) \right| = F(x)$$ |
condiție: $F(x) \geq 0$; $E(x) = F(x)$ sau $E(x) = - F(x)$; păstrăm doar soluțiile care verifică condiția. |
| sume de module | metoda intervalelor: împărțim axa prin zerourile expresiilor din module și rezolvăm pe fiecare interval. |
Exemplul 4
$|2x - 1| = 5$ $\Leftrightarrow$ $2x - 1 = 5$ sau $2x - 1 = - 5$ $\Leftrightarrow$ $x = 3$ sau $x = - 2$. Deci $S = \{ - 2,\ 3\}$.
Exemplul 5
$|x + 1| = 2x - 4$. Condiția: $2x - 4 \geq 0 \Leftrightarrow x \geq 2$.
$x + 1 = 2x - 4 \Rightarrow x = 5$ (convine); $x + 1 = - (2x - 4) \Rightarrow x = 1$ (nu convine, $1 < 2$). Deci $S = \{ 5\}$.
Exemplul 6
$|x| + |x - 2| = 4$. Zerourile expresiilor din module sunt $0$ și $2$:
| $$x$$ | $$( - \infty,\ 0)$$ | $$\lbrack 0,\ 2)$$ | $$\lbrack 2,\ + \infty)$$ |
|---|---|---|---|
| $$|x|$$ | $$- x$$ | $$x$$ | $$x$$ |
| $$|x - 2|$$ | $$2 - x$$ | $$2 - x$$ | $$x - 2$$ |
| ecuația devine | $2 - 2x = 4 \Rightarrow x = - 1$ ✓ | $2 = 4$, fals | $2x - 2 = 4 \Rightarrow x = 3$ ✓ |
Soluțiile găsite aparțin intervalelor corespunzătoare, deci $S = \{ - 1,\ 3\}$.
3.5. Inecuații cu modul
| Tipul inecuației | Echivalență |
|---|---|
| $\left| E(x) \right| \leq a$, $a > 0$ | $$- a \leq E(x) \leq a$$ |
| $\left| E(x) \right| \geq a$, $a > 0$ | $E(x) \leq - a$ sau $E(x) \geq a$ (reuniune de intervale) |
| $\left| E(x) \right| < a$, $a \leq 0$ | $$S = \varnothing$$ |
| $\left| E(x) \right| \geq a$, $a \leq 0$ | $$S = {\mathbb{R}}$$ |
Exemplul 7
$|3x - 2| < 4$ $\Leftrightarrow$ $- 4 < 3x - 2 < 4$ $\Leftrightarrow$ $- 2 < 3x < 6$ $\Leftrightarrow$ $- \frac{2}{3} < x < 2$. Deci $S = \left( - \frac{2}{3},\ 2 \right)$.
Exemplul 8
$|x + 3| \geq 2$ $\Leftrightarrow$ $x + 3 \leq - 2$ sau $x + 3 \geq 2$ $\Leftrightarrow$ $x \leq - 5$ sau $x \geq - 1$. Deci $S = ( - \infty,\ - 5\rbrack \cup \lbrack - 1,\ + \infty)$.
Exemplul 9 (distanță)
$|x - 4| \leq 1$: punctele aflate la distanță cel mult $1$ de punctul $4$, adică $S = \lbrack 3,\ 5\rbrack$.
4. Partea întreagă și partea fracționară a unui număr real
4.1. Definiții
Definiție
Pentru orice $x \in {\mathbb{R}}$ există un singur număr întreg $k$ astfel încât $k \leq x < k + 1$. Acest număr se numește partea întreagă a lui $x$ și se notează $\lbrack x\rbrack$. Așadar $\lbrack x\rbrack$ este cel mai mare număr întreg mai mic sau egal cu $x$.
Partea fracționară a lui $x$ este $\left\{ x \right\} = x - \lbrack x\rbrack$. (În unele cărți se folosește notația $\lfloor x\rfloor$.)
| $$x$$ | $$\lbrack x\rbrack$$ | $$\left\{ x \right\}$$ | Justificare |
|---|---|---|---|
| $$\text{2,6}$$ | $$2$$ | $$\text{0,6}$$ | $$2 \leq \text{2,6} < 3$$ |
| $$- \text{2,6}$$ | $$- 3$$ | $$\text{0,4}$$ | $$- 3 \leq - \text{2,6} < - 2$$ |
| $$5$$ | $$5$$ | $$0$$ | $$5 \in {\mathbb{Z}}$$ |
| $$- \text{0,25}$$ | $$- 1$$ | $$\text{0,75}$$ | $$- 1 \leq - \text{0,25} < 0$$ |
| $$\sqrt{10}$$ | $$3$$ | $$\sqrt{10} - 3$$ | $$3 < \sqrt{10} < 4$$ |
| $$- \sqrt{2}$$ | $$- 2$$ | $$2 - \sqrt{2}$$ | $$- 2 < - \sqrt{2} < - 1$$ |
Atenție!
$\left\lbrack - \text{2,6} \right\rbrack = - 3$, nu $- 2$. Pentru numerele negative, partea întreagă nu se obține „tăind zecimalele”. Partea fracționară este întotdeauna în $\lbrack 0,\ 1)$: $\left\{ - \text{2,6} \right\} = - \text{2,6} - ( - 3) = \text{0,4}$.
4.2. Proprietăți
Pentru orice $x,\ y \in {\mathbb{R}}$ și $k \in {\mathbb{Z}}$:
| Nr. | Proprietatea | Observații / exemple |
|---|---|---|
| 1 | $\lbrack x\rbrack \leq x < \lbrack x\rbrack + 1$; echivalent: $x - 1 < \lbrack x\rbrack \leq x$ | $$\lbrack x\rbrack \in {\mathbb{Z}}$$ |
| 2 | $\lbrack x\rbrack = k$ $\Leftrightarrow$ $k \leq x < k + 1$ $\Leftrightarrow$ $x \in \lbrack k,\ k + 1)$ | $\lbrack x\rbrack = \frac{5}{2}$ nu are soluții |
| 3 | $x = \lbrack x\rbrack + \left\{ x \right\}$; $0 \leq \left\{ x \right\} < 1$; $\left\{ x \right\} = 0 \Leftrightarrow x \in {\mathbb{Z}}$ | $\left\{ x \right\} = \text{1,2}$ nu are soluții |
| 4 | $\lbrack x + k\rbrack = \lbrack x\rbrack + k$; $\left\{ x + k \right\} = \left\{ x \right\}$ | $$\lbrack x + 3\rbrack = \lbrack x\rbrack + 3$$ |
| 5 |
$\lbrack x\rbrack + \lbrack - x\rbrack = 0$ dacă $x \in {\mathbb{Z}}$, $= - 1$ dacă $x \notin {\mathbb{Z}}$ $\left\{ x \right\} + \left\{ - x \right\} = 0$ dacă $x \in {\mathbb{Z}}$, $= 1$ dacă $x \notin {\mathbb{Z}}$ |
$$\lbrack\pi\rbrack + \lbrack - \pi\rbrack = 3 + ( - 4) = - 1$$ |
| 6 | $x \leq y$ $\Rightarrow$ $\lbrack x\rbrack \leq \lbrack y\rbrack$ | implicația reciprocă este falsă |
| 7 | $$\lbrack x\rbrack + \lbrack y\rbrack \leq \lbrack x + y\rbrack \leq \lbrack x\rbrack + \lbrack y\rbrack + 1$$ | egalitate în stânga $\Leftrightarrow$ $\left\{ x \right\} + \left\{ y \right\} < 1$ |
| 8 | $\lbrack x\rbrack \leq k \Leftrightarrow x < k + 1$; $\lbrack x\rbrack < k \Leftrightarrow x < k$; $\lbrack x\rbrack \geq k \Leftrightarrow x \geq k$ | utile la inecuații |
| 9 | $\lbrack x\rbrack + \left\lbrack x + \frac{1}{2} \right\rbrack = \lbrack 2x\rbrack$ (identitatea lui Hermite) | extindere – demonstrația: fișa de lucru, itemul 29 |
4.3. Calcule
Exemplul 10
$49 \leq 50 < 64$ $\Rightarrow$ $7 \leq \sqrt{50} < 8$, deci $\left\lbrack \sqrt{50} \right\rbrack = 7$, $\left\{ \sqrt{50} \right\} = \sqrt{50} - 7 = 5\sqrt{2} - 7$, iar $\left\lbrack - \sqrt{50} \right\rbrack = - 8$.
Exemplul 11
$S = \left\lbrack \sqrt{1} \right\rbrack + \left\lbrack \sqrt{2} \right\rbrack + \ldots + \left\lbrack \sqrt{8} \right\rbrack$. Pentru $n \in \{ 1,\ 2,\ 3\}$ avem $\left\lbrack \sqrt{n} \right\rbrack = 1$, iar pentru $n \in \{ 4,\ \ldots,\ 8\}$ avem $\left\lbrack \sqrt{n} \right\rbrack = 2$. Deci $S = 3 \cdot 1 + 5 \cdot 2 = 13$.
4.4. Ecuații cu parte întreagă și parte fracționară
| Tipul ecuației | Metoda de rezolvare |
|---|---|
| $\left\lbrack E(x) \right\rbrack = k$, $k \in {\mathbb{Z}}$ | $k \leq E(x) < k + 1$ (dacă membrul drept nu este întreg, $S = \varnothing$). |
| $$\left\lbrack E(x) \right\rbrack = F(x)$$ | notăm $F(x) = k \in {\mathbb{Z}}$, exprimăm $x$ în funcție de $k$, impunem $k \leq E(x) < k + 1$, aflăm valorile întregi ale lui $k$, apoi $x$. |
| ecuații cu $\lbrack x\rbrack$ și $\left\{ x \right\}$ | scriem $x = k + f$, cu $k = \lbrack x\rbrack \in {\mathbb{Z}}$ și $f = \left\{ x \right\} \in \lbrack 0,\ 1)$. |
| expresii în $\lbrack x\rbrack$ | substituția $t = \lbrack x\rbrack$, cu $t \in {\mathbb{Z}}$. |
Exemplul 12
$\left\lbrack \frac{x - 1}{2} \right\rbrack = 3$ $\Leftrightarrow$ $3 \leq \frac{x - 1}{2} < 4$ $\Leftrightarrow$ $6 \leq x - 1 < 8$ $\Leftrightarrow$ $7 \leq x < 9$. Deci $S = \lbrack 7,\ 9)$.
Exemplul 13
$\left\lbrack \frac{x + 2}{3} \right\rbrack = \frac{x - 1}{2}$. Notăm $\frac{x - 1}{2} = k \in {\mathbb{Z}}$, deci $x = 2k + 1$ și $\frac{x + 2}{3} = \frac{2k + 3}{3}$.
$k \leq \frac{2k + 3}{3} < k + 1$ $\Leftrightarrow$ $3k \leq 2k + 3 < 3k + 3$ $\Leftrightarrow$ $0 < k \leq 3$ $\Rightarrow$ $k \in \{ 1,\ 2,\ 3\}$ $\Rightarrow$ $S = \{ 3,\ 5,\ 7\}$.
Exemplul 14
$2\lbrack x\rbrack = 3\left\{ x \right\}$. Cu $x = k + f$: $2k = 3f$, deci $f = \frac{2k}{3} \in \lbrack 0,\ 1)$ $\Leftrightarrow$ $0 \leq 2k < 3$ $\Rightarrow$ $k \in \{ 0,\ 1\}$.
$k = 0 \Rightarrow f = 0 \Rightarrow x = 0$; $k = 1 \Rightarrow f = \frac{2}{3} \Rightarrow x = \frac{5}{3}$. Deci $S = \{ 0,\ \frac{5}{3}\}$.
Exemplul 15
$\lbrack x\rbrack^{2} - 3\lbrack x\rbrack + 2 = 0$. Cu $t = \lbrack x\rbrack$: $(t - 1)(t - 2) = 0$ $\Rightarrow$ $\lbrack x\rbrack \in \{ 1,\ 2\}$ $\Rightarrow$ $x \in \lbrack 1,\ 2) \cup \lbrack 2,\ 3) = \lbrack 1,\ 3)$.
4.5. Inecuații cu parte întreagă
Exemplul 16
$\lbrack 2x - 1\rbrack < 3$ $\Leftrightarrow$ $\lbrack 2x - 1\rbrack \leq 2$ $\Leftrightarrow$ $2x - 1 < 3$ $\Leftrightarrow$ $x < 2$. Deci $S = ( - \infty,\ 2)$.
Exemplul 17
$- 1 \leq \left\lbrack \frac{x}{2} \right\rbrack \leq 1$ $\Leftrightarrow$ $- 1 \leq \frac{x}{2} < 2$ $\Leftrightarrow$ $- 2 \leq x < 4$. Deci $S = \lbrack - 2,\ 4)$.
5. Greșeli frecvente
| Greșit | Corect |
|---|---|
| $$\sqrt{x^{2}} = x$$ | $$\sqrt{x^{2}} = |x|$$ |
| $$|a + b| = |a| + |b|$$ | $|a + b| \leq |a| + |b|$, cu egalitate doar dacă $ab \geq 0$ |
| $$|x| = - 3 \Rightarrow x = \pm 3$$ | $|x| \geq 0$, deci ecuația nu are soluții |
| $|x - 3| = 2x \Rightarrow x - 3 = \pm 2x$, fără alte condiții | întâi condiția $2x \geq 0$, apoi verificarea soluțiilor |
| $$|x| < a \Rightarrow x < a$$ | $|x| < a \Leftrightarrow - a < x < a$ ($a > 0$) |
| $$\left\lbrack - \text{3,4} \right\rbrack = - 3$$ | $\left\lbrack - \text{3,4} \right\rbrack = - 4$ și $\left\{ - \text{3,4} \right\} = \text{0,6}$ |
| $$\lbrack 2x\rbrack = 2\lbrack x\rbrack$$ | fals în general: $\left\lbrack 2 \cdot \text{0,5} \right\rbrack = 1$, dar $2\left\lbrack \text{0,5} \right\rbrack = 0$ |
| $$\lbrack x + y\rbrack = \lbrack x\rbrack + \lbrack y\rbrack$$ | adevărat doar dacă $\left\{ x \right\} + \left\{ y \right\} < 1$ |
6. Algoritm general pentru ecuații și inecuații
- Identific tipul ecuației/inecuației (tabelele de la 3.4, 3.5 și 4.4).
- Scriu condițiile: membrul drept $\geq 0$ (la $\left| E(x) \right| = F(x)$), $k \in {\mathbb{Z}}$ (la parte întreagă), $f \in \lbrack 0,\ 1)$ (la parte fracționară).
- Rezolv pe cazuri sau pe intervale.
- Intersectez soluțiile fiecărui caz cu intervalul sau condiția cazului respectiv.
- Reunesc soluțiile și scriu mulțimea S (ca mulțime finită sau ca interval/reuniune de intervale).
- Verific prin înlocuire cel puțin o soluție.