Profil: Matematică-Informatică | Pondere Bacalaureat: Subiectul I, Exercițiul 5
1. Vectori în plan (sistemul cartezian)
Fie punctele $A\left( x_{A},y_{A} \right)$ și $B\left( x_{B},y_{B} \right)$ și vectorii de poziție $\overrightarrow{r_{A}} = x_{A}\overrightarrow{i} + y_{A}\overrightarrow{j}$, $\overrightarrow{r_{B}} = x_{B}\overrightarrow{i} + y_{B}\overrightarrow{j}$.
Vectorul liber $\overrightarrow{AB}$:
$$\overrightarrow{AB} = \left( x_{B} - x_{A} \right)\overrightarrow{i} + \left( y_{B} - y_{A} \right)\overrightarrow{j}$$
Lungimea (modulul) unui vector $\overrightarrow{v} = a\overrightarrow{i} + b\overrightarrow{j}$:
$$|\overrightarrow{v}| = \sqrt{a^{2} + b^{2}}$$
Distanța dintre două puncte $A$ și $B$:
$$AB = |\overrightarrow{AB}| = \sqrt{\left( x_{B} - x_{A} \right)^{2} + \left( y_{B} - y_{A} \right)^{2}}$$
Suma și diferența vectorilor:
$$\overrightarrow{u} = a_{1}\overrightarrow{i} + b_{1}\overrightarrow{j},\quad\overrightarrow{v} = a_{2}\overrightarrow{i} + b_{2}\overrightarrow{j}$$
$$\overrightarrow{u} \pm \overrightarrow{v} = \left( a_{1} \pm a_{2} \right)\overrightarrow{i} + \left( b_{1} \pm b_{2} \right)\overrightarrow{j}$$
Înmulțirea cu un scalar:
$$\alpha \cdot \overrightarrow{u} = \left( \alpha a_{1} \right)\overrightarrow{i} + \left( \alpha b_{1} \right)\overrightarrow{j}$$
Condiția de coliniaritate a doi vectori:
$$\overrightarrow{u}||\overrightarrow{v} < = > \frac{a_{1}}{a_{2}} = \frac{b_{1}}{b_{2}} < = > a_{1}b_{2} - a_{2}b_{1} = 0$$
Produsul scalar:
$$\overrightarrow{u} \cdot \overrightarrow{v} = |\overrightarrow{u}| \cdot |\overrightarrow{v}| \cdot \cos(\theta) = a_{1}a_{2} + b_{1}b_{2}$$
Cosinusul unghiului dintre doi vectori:
$$\cos(\theta) = \frac{a_{1}a_{2} + b_{1}b_{2}}{\sqrt{a_{1}^{2} + b_{1}^{2}} \cdot \sqrt{a_{2}^{2} + b_{2}^{2}}}$$
Condiția de perpendicularitate a doi vectori:
$$\overrightarrow{u}\bot\overrightarrow{v} < = > \overrightarrow{u} \cdot \overrightarrow{v} = 0 < = > a_{1}a_{2} + b_{1}b_{2} = 0$$
2. Puncte remarcabile și segmente
Mijlocul $M$ al segmentului $\lbrack AB\rbrack$:
$$x_{M} = \frac{x_{A} + x_{B}}{2},\quad y_{M} = \frac{y_{A} + y_{B}}{2} = > \overrightarrow{r_{M}} = \frac{\overrightarrow{r_{A}} + \overrightarrow{r_{B}}}{2}$$
Punctul $M$ care împarte $\lbrack AB\rbrack$ în raportul $k = \frac{MA}{MB}$:
$$x_{M} = \frac{x_{A} + kx_{B}}{1 + k},\quad y_{M} = \frac{y_{A} + ky_{B}}{1 + k} = > \overrightarrow{r_{M}} = \frac{\overrightarrow{r_{A}} + k\overrightarrow{r_{B}}}{1 + k}$$
Centrul de greutate $G$ al $\bigtriangleup ABC$:
$$x_{G} = \frac{x_{A} + x_{B} + x_{C}}{3},\quad y_{G} = \frac{y_{A} + y_{B} + y_{C}}{3} = > \overrightarrow{r_{G}} = \frac{\overrightarrow{r_{A}} + \overrightarrow{r_{B}} + \overrightarrow{r_{C}}}{3}$$
3. Ecuațiile dreptei în plan
Panta unei drepte ($m$):
Prin unghiul $\alpha$ făcut cu axa $Ox$: $m = {tg}(\alpha)$
Prin două puncte $A$ și $B$: $m = \frac{y_{B} - y_{A}}{x_{B} - x_{A}}$ (unde $x_{A} \neq x_{B}$)
Forme ale ecuației dreptei:
Explicită: $y = mx + n$ ($m$ = panta, $n$ = tăietura pe axa $Oy$)
Generală: $aX + bY + c = 0$ (panta $m = - \frac{a}{b}$)
Prin punct $A\left( x_{0},y_{0} \right)$ și pantă $m$:
$$y - y_{0} = m\left( x - x_{0} \right)$$
Prin două puncte $A\left( x_{A},y_{A} \right)$ și $B\left( x_{B},y_{B} \right)$:
$$\frac{x - x_{A}}{x_{B} - x_{A}} = \frac{y - y_{A}}{y_{B} - y_{A}}\quad$$
Prin tăieturi (intersecțiile cu axele): $\frac{x}{a} + \frac{y}{b} = 1$
4. Poziții relative a două drepte
Fie $d_{1}:y = m_{1}x + n_{1}$ și $d_{2}:y = m_{2}x + n_{2}$ (sau în forma generală $a_{1}x + b_{1}y + c_{1} = 0$, $a_{2}x + b_{2}y + c_{2} = 0$):
Paralelism:
$$d_{1}||d_{2} < = > m_{1} = m_{2} < = > \frac{a_{1}}{a_{2}} = \frac{b_{1}}{b_{2}} \neq \frac{c_{1}}{c_{2}}$$
Perpendicularitate:
$$d_{1}\bot d_{2} < = > m_{1} \cdot m_{2} = - 1 < = > a_{1}a_{2} + b_{1}b_{2} = 0$$
Identice (Coincid):
$$d_{1} \equiv d_{2} < = > m_{1} = m_{2}\text{~și~}n_{1} = n_{2} < = > \frac{a_{1}}{a_{2}} = \frac{b_{1}}{b_{2}} = \frac{c_{1}}{c_{2}}$$
Secante (Intersecție într-un punct):
$$m_{1} \neq m_{2} < = > \text{Sistemul~format~din~ecuațiile~celor~două~drepte~are~soluție~unică.}$$
5. Distanțe și arii
Distanța de la un punct $P\left( x_{0},y_{0} \right)$ la o dreaptă $d:aX + bY + c = 0$:
$${dist}(P,d) = \frac{|ax_{0} + by_{0} + c|}{\sqrt{a^{2} + b^{2}}}$$
6. Idei și strategii frecvente la BAC (Subiectul I, Ex. 5)
| Tip de problemă | Strategie de rezolvare |
|---|---|
| Dreaptă paralelă cu $d$ prin $A$ | Scrii panta $m_{d}$. Panta dreptei căutate este $m = m_{d}$. Aplici $y - y_{A} = m\left( x - x_{A} \right)$. |
| Dreaptă perpendiculară pe $d$ prin $A$ | Calculezi $m_{d}$. Panta căutată este $m = - \frac{1}{m_{d}}$. Aplici $y - y_{A} = m\left( x - x_{A} \right)$. |
| Simetricul punctului $A$ față de $B$ | Punctul $B$ este mijlocul segmentului $\lbrack AA'\rbrack$. Aplici $x_{B} = \frac{x_{A} + x_{A'}}{2}$, $y_{B} = \frac{y_{A} + y_{A'}}{2}$. |
| Simetricul punctului $A$ față de o dreaptă $d$ | 1. Construiești $d'\bot d$ prin $A$. 2. Afli $M = d \cap d'$ (proiecția lui $A$). 3. $M$ este mijlocul lui $\lbrack AA'\rbrack$. |
| Calculul înălțimii din $A$ în $\bigtriangleup ABC$ | 1. Calculezi panta $m_{BC}$. 2. Panta înălțimii este $m_{h_{A}} = - \frac{1}{m_{BC}}$. 3. Scrii ecuația $y - y_{A} = m_{h_{A}}\left( x - x_{A} \right)$. |
| Echilibrul de vectori (Paralelogram) | $ABCD$ paralelogram $\overrightarrow{AB} = \overrightarrow{DC} < = > \overrightarrow{r_{A}} + \overrightarrow{r_{C}} = \overrightarrow{r_{B}} + \overrightarrow{r_{D}}$. |