Profil matematică-informatică (M1)
Secțiunea A. Nivel minim – mediu
-
Arătați că numărul $A = \sqrt{\left( 2\sqrt{3} - 4 \right)^{2}} - \sqrt{12} + |1 - \sqrt{3}|$ este număr rațional.
-
Să se rezolve în $\mathbb{R}$ sistemul de inecuații:
$$\left\{ \begin{matrix} 2(x - 1) \geq 3x - 5 \\ \frac{x + 4}{2} > \frac{x - 1}{3} \end{matrix} \right.$$
-
Determinați mulțimea $S = \left\{ x \in \mathbb{Z} \mid \frac{3x + 1}{x - 2} \in \mathbb{Z} \right\}$.
-
Se consideră ecuația de gradul al II-lea $x^{2} - (2m - 1)x + m^{2} - 1 = 0$, unde $m \in \mathbb{R}$.
a) Determinați $m$ astfel încât ecuația să aibă rădăcini reale distincte.
b) Determinați $m$ dacă rădăcinile $x_{1},x_{2}$ verifică relația $x_{1}^{2} + x_{2}^{2} = 7$.
Secțiunea B. Nivel mediu – avansat
-
Fie funcția $f:\mathbb{R} \rightarrow \mathbb{R}$, $f(x) = - \frac{1}{2}x + 3$.
a) Reprezentați grafic funcția într-un sistem de axe ortogonale $xOy$.
b) Determinați aria și perimetrul suprafeței delimitate de graficul funcției și axele de coordonate.
-
În triunghiul $ABC$, $m\left( \widehat{A} \right) = 90^{\circ}$, $AB = 6\sqrt{3}\text{~cm}$ și $AC = 6\text{~cm}$.
a) Determinați măsurile unghiurilor $\widehat{B}$ și $\widehat{C}$ și lungimea înălțimii $AD$ ($D \in BC$).
b) Calculați valoarea expresiei $E = \sin^{2}B + \sin^{2}C - 2\cos B \cdot \sin C$.
-
În reperul cartezian $xOy$ se dau punctele $A( - 2,1)$, $B(4,5)$ și $C(1, - 2)$.
a) Calculați lungimile laturilor triunghiului $ABC$ și arătați că este isoscel.
b) Aflați coordonatele mijlocului segmentului $\lbrack AB\rbrack$ și lungimea medianei din $C$.
Secțiunea C. „Nota 10” – excelență
-
Să se determine toate numerele naturale $n$ pentru care numărul:
$$P(n) = n^{4} + 4$$
este număr prim.
-
Determinați numărul de soluții reale ale ecuației:
$$\left\lbrack \frac{x + 1}{3} \right\rbrack = \frac{x - 2}{2}$$
unde $\lbrack x\rbrack$ reprezintă partea întreagă a numărului real $x$.
-
Se consideră un pătrat $ABCD$ cu latura de lungime $a$. Punctele $M \in (BC)$ și $N \in (CD)$ sunt astfel încât $m\left( \widehat{MAN} \right) = 45^{\circ}$.
Arătați că perimetrul triunghiului $CMN$ este constant și independent de poziția punctelor $M$ și $N$, fiind egal cu $2a$.