Fișă de lucru

Fișă de lucru: formule echivalente, negarea enunțurilor

Publicat · de

Deschide PDF

Rezumat

O tautologie este o formulă adevărată pe toate liniile tabelului de adevăr, iar două formule sunt echivalente când coloanele lor coincid. Un enunț compus se neagă cu legile lui De Morgan și cu negația implicației. Fișa exersează tabelele de adevăr, negarea enunțurilor și reciproca, contrara și contrara reciprocei.

Apasă «Verifică» lângă un exercițiu. Răspunsurile rămân pe acest dispozitiv.

Reține

$A \equiv B$ înseamnă că formulele $A$ și $B$ au aceleași valori de adevăr pe fiecare linie a tabelului. O formulă adevărată pe toate liniile este o tautologie.

  1. Arătați, completând tabelul, că formula $(p \land (p \rightarrow q)) \rightarrow q$ este o tautologie.

    $p$ $q$ $p \rightarrow q$ $p \land (p \rightarrow q)$ $(p \land (p \rightarrow q)) \rightarrow q$
    $1$ $1$
    $1$ $0$
    $0$ $1$
    $0$ $0$

  2. Arătați, completând tabelul, că $p \land (q \vee r) \equiv (p \land q) \vee (p \land r)$.

    $p$ $q$ $r$ $q \vee r$ $p \land (q \vee r)$ $p \land q$ $p \land r$ $(p \land q) \vee (p \land r)$
    $1$ $1$ $1$
    $1$ $1$ $0$
    $1$ $0$ $1$
    $1$ $0$ $0$
    $0$ $1$ $1$
    $0$ $1$ $0$
    $0$ $0$ $1$
    $0$ $0$ $0$

  3. Scrieți negația fiecărui enunț, folosind legile lui De Morgan sau negația implicației. Precizați valoarea de adevăr a enunțului și a negației lui.

    Enunțul Negația Valori
    a) „$6$ este divizibil cu $2$ și cu $4$.”
    b) „$\pi > 3$ sau $\pi < 2$.”
    c) „Dacă $3 > 2$, atunci $3^{2} > 2^{2}$.”
    d) „$- 1 \in {\mathbb{N}}$ sau $( - 1)^{2} \in {\mathbb{N}}$.”

  4. Se consideră implicația: „Dacă un număr natural este divizibil cu $6$, atunci este divizibil cu $3$.” Formulați reciproca, contrara și contrara reciprocei și precizați care dintre cele patru enunțuri sunt adevărate.

    Reciproca: …

    Contrara: …

    Contrara reciprocei: …

    Valorile de adevăr ale celor patru enunțuri: …

  5. Știind că propoziția $(p \land \overline{q}) \rightarrow r$ este falsă, determinați $v(p)$, $v(q)$, $v(r)$, apoi valoarea de adevăr a propozițiilor $(p \rightarrow r) \vee q$ și $\overline{q} \leftrightarrow p$.

    a) $v(p)$ = … ; $v(q)$ = … ; $v(r)$ = …

    b) $v((p \rightarrow r) \vee q)$ = …

    c) $v(\overline{q} \leftrightarrow p)$ = …

  6. Arătați că formula $(p \rightarrow q) \vee (q \rightarrow p)$ este o tautologie. Ce înseamnă acest lucru, pentru două propoziții oarecare?

Întrebări frecvente

Ce este o tautologie?

O formulă care ia valoarea $1$ pe fiecare linie a tabelului de adevăr, oricare ar fi valorile variabilelor. Exemple simple sunt $p \vee \overline{p}$ și $p \rightarrow p$. Pentru a arăta că o formulă nu este tautologie, ajunge să găsești o linie pe care ia valoarea $0$.

Cum neg un enunț care conține „și” sau „sau”?

Negi fiecare propoziție simplă și schimbi operatorul: „și” devine „sau”, iar „sau” devine „și” (legile lui De Morgan). De exemplu, negația lui „$x > 0$ și $y > 0$” este „$x \leq 0$ sau $y \leq 0$”. Relațiile se neagă și ele: $<$ devine $\geq$, iar $\in$ devine $\notin$.

Este contrara unei implicații același lucru cu negația ei?

Nu. Contrara lui $p \rightarrow q$ este tot o implicație, $\overline{p} \rightarrow \overline{q}$, pe când negația este $p \land \overline{q}$. Contrara are mereu aceeași valoare de adevăr ca reciproca, nu ca implicația inițială.