Cum lucrezi: alege nivelul de la care pornești. Dacă rezolvi fără greutate problemele unui nivel, treci la următorul. Recitește întâi teoria din fișa de lucru: proprietățile (P1)–(P3) și sumele remarcabile (S1)–(S4).
De reținut
$\sum_{k=1}^{n}{c}=n\cdot c$ $\sum_{k=1}^{n}{k}=\frac{n(n+1)}{2}$ $\sum_{k=1}^{n}{k^2}=\frac{n(n+1)(2n+1)}{6}$ $\sum_{k=1}^{n}{k^3}=\left(\frac{n(n+1)}{2}\right)^2$
Inducție: Etapa I $P(n_0)$ adevărată; Etapa a II-a $P(k)\Rightarrow P(k+1)$; concluzie: $P(n)$ adevărată pentru orice $n\ge n_0$.
Nivel de bază
-
Scrie desfășurat, apoi calculează:
a) $\sum_{k=1}^{6}{(3k-1)}$;
b) $\sum_{k=0}^{4}{2^k}$;
c) $\sum_{k=3}^{7}{(k^2-1)}$;
d) $\sum_{k=1}^{100}{\left(-1\right)^k}$.
-
Scrie cu simbolul Σ, după ce afli termenul general:
a) $5+10+15+\ldots+200$;
b) $1+8+27+\ldots+1000$;
c) $2+6+10+\ldots+(4n-2)$;
d) $1\cdot 3+2\cdot 5+3\cdot 7+\ldots+n(2n+1)$;
e) $\frac{1}{3}+\frac{1}{9}+\frac{1}{27}+\ldots+\frac{1}{3^n}$.
-
Calculează, folosind sumele remarcabile:
a) $1+2+\ldots+200$;
b) $1^2+2^2+\ldots+20^2$;
c) $1^3+2^3+\ldots+10^3$;
d) $2+4+6+\ldots+100$.
-
Calculează, folosind proprietățile sumelor:
a) $\sum_{k=1}^{n}{(6k+1)}$;
b) $\sum_{k=1}^{n}{(2k-3)}$;
c) $\sum_{k=1}^{10}{(k^2+2k)}$.
-
Demonstrează prin inducție matematică că, pentru orice $n\in \N^*$:
a) $2+4+6+\ldots+2n=n(n+1)$;
b) $1+4+7+\ldots+(3n-2)=\frac{n(3n-1)}{2}$.
Nivel consolidat
-
Scrie cu Σ, apoi calculează:
a) $3+5+7+\ldots+(2n+1)$;
b) $2^2+4^2+6^2+\ldots+(2n)^2$;
c) $1\cdot 5+2\cdot 6+3\cdot 7+\ldots+n(n+4)$.
-
Fie $S_n=1\cdot 2+3\cdot 4+5\cdot 6+\ldots+(2n-1)\cdot 2n$.
a) Scrie $S_n$ cu Σ și calculează-l.
b) Demonstrează prin inducție formula obținută la a).
-
Calculează:
a) $\sum_{k=11}^{30}{k}$;
b) $\sum_{k=5}^{10}{k^3}$;
c) $\sum_{k=n+1}^{2n}{k^2}$.
-
Determină numărul natural nenul $n$ pentru care:
a) $1+2+\ldots+n=78$;
b) $1+3+5+\ldots+(2n-1)=169$;
c) $1^2+2^2+\ldots+n^2=204$.
-
Demonstrează prin inducție matematică că, pentru orice $n\in \N^*$:
a) $1^2+3^2+5^2+\ldots+(2n-1)^2=\frac{n(2n-1)(2n+1)}{3}$;
b) $1+2+2^2+\ldots+2^{n-1}=2^n-1$.
Nivel avansat
-
Sumă telescopică.
a) Verifică egalitatea $\frac{1}{(2k-1)(2k+1)}=\frac{1}{2}\cdot \left(\frac{1}{2k-1}-\frac{1}{2k+1}\right)$.
b) Calculează $\frac{1}{1\cdot 3}+\frac{1}{3\cdot 5}+\ldots+\frac{1}{(2n-1)(2n+1)}$.
c) Demonstrează prin inducție rezultatul de la b).
-
Calculează $\sum_{k=1}^{n}{k(n-k)}$, pentru $n\ge 2$. Atenție: în această sumă, $n$ nu depinde de $k$. Verifică rezultatul pentru $n=3$.
-
Demonstrează prin inducție că $\frac{1}{2}+\frac{2}{2^2}+\frac{3}{2^3}+\ldots+\frac{n}{2^n}=2-\frac{n+2}{2^n}$, pentru orice $n\in \N^*$.
-
Găsește greșeala. Un elev calculează astfel: „$\sum_{k=1}^{n}{k(k+1)}=\sum_{k=1}^{n}{k}\cdot \sum_{k=1}^{n}{(k+1)}$”.
a) Verifică egalitatea pentru $n=2$.
b) Ce proprietate a sumelor a aplicat greșit elevul?
c) Calculează corect suma.
-
Provocare. Calculează $1^2-2^2+3^2-4^2+5^2-6^2$ și $1^2-2^2+3^2-4^2+5^2-6^2+7^2$. Ce observi? Demonstrează prin inducție că, pentru orice $n\in \N^*$:
$$\sum_{k=1}^{n}{\left(-1\right)^{k+1}\cdot k^2}=\left(-1\right)^{n+1}\cdot \frac{n(n+1)}{2}$$