Întrebarea fișei: Cum calculezi repede o sumă cu foarte mulți termeni și cum ești sigur că formula găsită este adevărată pentru orice $n$?
Pornim de la ce știi
Trei verificări rapide. Dacă una dintre ele îți ridică probleme, notează-o: la ea revii prima.
-
Calculează $1+2+3+\ldots+100$. Indicație: adună primul termen cu ultimul, al doilea cu penultimul, …
-
Scrie următorii doi termeni:
a) $1; 4; 9; 16; \ldots$
b) $2; 5; 8; 11; \ldots$
-
Dezvoltă: $(k+1)^2$ și $(k+1)^3$.
Teorie pe scurt
1. Simbolul Σ (sigma)
Definiție · Scrierea prescurtată a unei sume
Suma $a_1+a_2+a_3+\ldots+a_n$ se scrie prescurtat:
$$\sum_{k=1}^{n}{a_k}=a_1+a_2+\ldots+a_n$$
și se citește „suma de la $k$ egal cu 1 la $n$ din $a_k$”.
- $k$ este indicele de sumare: ia, pe rând, valorile $1; 2; \ldots; n$. Litera nu contează: $\sum_{k=1}^{n}{a_k}=\sum_{i=1}^{n}{a_i}$.
- 1 este limita inferioară, iar $n$ este limita superioară a sumei.
- $a_k$ este termenul general al sumei: regula după care se obține fiecare termen.
- Suma $\sum_{k=m}^{n}{a_k}$ are $n-m+1$ termeni.
Exemple · Scriem desfășurat
$\sum_{k=1}^{4}{k^2}=1^2+2^2+3^2+4^2=1+4+9+16=30$
$\sum_{k=3}^{6}{(2k+1)}=7+9+11+13=40$ (are $6-3+1=4$ termeni)
$\sum_{k=1}^{5}{3}=3+3+3+3+3=15$ (termenul general nu depinde de $k$)
2. Cum scriem o sumă cu Σ: găsim termenul general
Metodă
Pasul 1. Numerotezi termenii: primul are $k=1$, al doilea $k=2$, …
Pasul 2. Observi ce se schimbă de la un termen la altul și ce rămâne la fel.
Pasul 3. Scrii termenul general $a_k$ ca expresie în $k$.
Pasul 4. Afli limita superioară din ultimul termen: rezolvi ecuația $a_k=$ ultimul termen.
Pasul 5. Verifici formula pe primul și pe ultimul termen.
Exemplul 1 · Găsim termenul general
a) $1+3+5+\ldots+(2n-1)$: numerele impare, $a_k=2k-1$. Pentru $k=1$ obții 1, pentru $k=n$ obții $2n-1$. Deci suma este $\sum_{k=1}^{n}{(2k-1)}$.
b) $1\cdot 2+2\cdot 3+3\cdot 4+\ldots+n(n+1)$: fiecare termen este produsul a două numere consecutive, $a_k=k(k+1)$. Suma este $\sum_{k=1}^{n}{k(k+1)}$.
c) $2+5+8+\ldots+152$: termenii cresc mereu cu 3, deci $a_k=3k+c$. Din $a_1=2$ rezultă $c=-1$, adică $a_k=3k-1$. Din $3k-1=152$ obții $k=51$. Suma este $\sum_{k=1}^{51}{(3k-1)}$.
Cum îl recunoști
Termenii cresc mereu cu același număr $d$ → $a_k=d\cdot k+c$. Pătrate, cuburi → $k^2$, $k^3$. Semne alternante $+, -, +, \ldots$ → factorul $\left(-1\right)^{k+1}$.
3. Proprietățile sumelor
Proprietăți · De reținut
(P1) Factorul constant iese în fața sumei. Dacă $c$ nu depinde de $k$:
$$\sum_{k=1}^{n}{c\cdot a_k}=c\cdot \sum_{k=1}^{n}{a_k}$$
(P2) Suma (diferența) se „sparge” în două sume.
$$\sum_{k=1}^{n}{(a_k\pm b_k)}=\sum_{k=1}^{n}{a_k}\pm \sum_{k=1}^{n}{b_k}$$
Liniaritatea reunește (P1) și (P2): pentru orice numere $\alpha$ și $\beta$ care nu depind de $k$,
$$\sum_{k=1}^{n}{(\alpha \cdot a_k+\beta \cdot b_k)}=\alpha \cdot \sum_{k=1}^{n}{a_k}+\beta \cdot \sum_{k=1}^{n}{b_k}$$
(P3) Suma se poate împărți în două bucăți. Pentru $1\le m<n$:
$$\sum_{k=m+1}^{n}{a_k}=\sum_{k=1}^{n}{a_k}-\sum_{k=1}^{m}{a_k}$$
Atenție · Greșeli frecvente
- $\sum_{k=1}^{n}{c}=c+c+\ldots+c=n\cdot c$, nu $c$: constanta apare de $n$ ori.
- Produsul nu se sparge: $\sum_{k=1}^{n}{a_k\cdot b_k}\ne \sum_{k=1}^{n}{a_k}\cdot \sum_{k=1}^{n}{b_k}$. Pentru $n=2$ și $a_k=b_k=k$: $1+4=5$, dar $3\cdot 3=9$.
- Iese în fața sumei doar ce nu depinde de $k$: $\sum_{k=1}^{n}{k\cdot k}\ne k\cdot \sum_{k=1}^{n}{k}$.
4. Sume remarcabile
Cele patru formule de mai jos se folosesc în aproape orice calcul de sume. Învață-le pe de rost.
Sume remarcabile
(S1) Suma unei constante
$$\sum_{k=1}^{n}{c}=n\cdot c$$
Exemplu: $\sum_{k=1}^{10}{7}=70$
(S2) Suma primelor n numere naturale nenule
$$\sum_{k=1}^{n}{k}=\frac{n(n+1)}{2}$$
Exemplu: $1+2+\ldots+100=5050$
(S3) Suma pătratelor
$$\sum_{k=1}^{n}{k^2}=\frac{n(n+1)(2n+1)}{6}$$
Exemplu: $1^2+2^2+\ldots+10^2=385$
(S4) Suma cuburilor
$$\sum_{k=1}^{n}{k^3}=\left(\frac{n(n+1)}{2}\right)^2$$
Exemplu: $1^3+2^3+3^3+4^3=100=10^2$
Metodă · Calculul unei sume
Pasul 1. Scrii suma cu Σ (afli termenul general).
Pasul 2. Desfaci termenul general într-o sumă de puteri ale lui $k$: $k^3$, $k^2$, $k$, constante.
Pasul 3. Spargi suma (P2) și scoți constantele în față (P1).
Pasul 4. Aplici sumele remarcabile (S1)–(S4) și aduci rezultatul la forma cea mai simplă.
Pasul 5. Verifici formula pentru $n=1$ și $n=2$.
Exemplul 2 · Pas cu pas
a) $1+3+5+\ldots+(2n-1)=\sum_{k=1}^{n}{(2k-1)}=2\cdot \sum_{k=1}^{n}{k}-\sum_{k=1}^{n}{1}=2\cdot \frac{n(n+1)}{2}-n=n^2$.
b) $S_n=1\cdot 2+2\cdot 3+\ldots+n(n+1)$.
Pasul 1. $S_n=\sum_{k=1}^{n}{k(k+1)}=\sum_{k=1}^{n}{(k^2+k)}$
Pasul 2. $S_n=\sum_{k=1}^{n}{k^2}+\sum_{k=1}^{n}{k}=\frac{n(n+1)(2n+1)}{6}+\frac{n(n+1)}{2}$
Pasul 3. Dăm factor comun $\frac{n(n+1)}{6}$: $S_n=\frac{n(n+1)}{6}\cdot (2n+1+3)=\frac{n(n+1)(n+2)}{3}$.
Verificare: $n=1$: $1\cdot 2=2$ și $\frac{1\cdot 2\cdot 3}{3}=2$ ✓; $n=2$: $2+6=8$ și $\frac{2\cdot 3\cdot 4}{3}=8$ ✓.
c) Cu (P3): $11^2+12^2+\ldots+20^2=\sum_{k=1}^{20}{k^2}-\sum_{k=1}^{10}{k^2}=2870-385=2485$.
5. Metoda inducției matematice
Explorează · Ajung câteva verificări?
La Exemplul 2 b) am verificat formula pentru $n=1$ și $n=2$. Am putea verifica și pentru $n=3$, $n=4$, …, $n=100$.
Ar fi aceasta o demonstrație pentru orice $n$? Cum ai putea fi sigur, fără să verifici la nesfârșit?
Principiul inducției matematice
Fie $P(n)$ o propoziție care depinde de numărul natural $n\ge n_0$. Dacă:
Etapa I (verificarea). $P(n_0)$ este adevărată;
Etapa a II-a (demonstrația). pentru orice $k\ge n_0$, din $P(k)$ adevărată rezultă $P(k+1)$ adevărată, adică $P(k)\Rightarrow P(k+1)$,
atunci $P(n)$ este adevărată pentru orice $n\ge n_0$.
Imaginea: un șir de piese de domino. Prima piesă cade (etapa I) și fiecare piesă o dărâmă pe următoarea (etapa a II-a). Atunci cad toate piesele.
Cum redactăm
„Notăm $P(n)$: …, $n\ge n_0$.
Etapa I. $P(n_0)$: … (calculez separat cei doi membri) …, deci $P(n_0)$ este adevărată.
Etapa a II-a. Presupunem $P(k)$ adevărată (ipoteza de inducție) și demonstrăm $P(k+1)$. Pornim de la membrul stâng al lui $P(k+1)$, folosim ipoteza de inducție și ajungem la membrul drept.
Conform principiului inducției matematice, $P(n)$ este adevărată pentru orice $n\ge n_0$.”
Exemplul 3 · Demonstrăm prin inducție formula de la Exemplul 2 b)
$P(n)$: $1\cdot 2+2\cdot 3+\ldots+n(n+1)=\frac{n(n+1)(n+2)}{3}$, $n\ge 1$.
Etapa I. $P(1)$: membrul stâng este $1\cdot 2=2$, membrul drept este $\frac{1\cdot 2\cdot 3}{3}=2$. Deci $P(1)$ este adevărată.
Etapa a II-a. Presupunem $P(k)$: $1\cdot 2+\ldots+k(k+1)=\frac{k(k+1)(k+2)}{3}$. Demonstrăm $P(k+1)$: $1\cdot 2+\ldots+k(k+1)+(k+1)(k+2)=\frac{(k+1)(k+2)(k+3)}{3}$.
Membrul stâng $=\frac{k(k+1)(k+2)}{3}+(k+1)(k+2)=(k+1)(k+2)\cdot \left(\frac{k}{3}+1\right)=\frac{(k+1)(k+2)(k+3)}{3}$, adică membrul drept.
Concluzie. Conform principiului inducției matematice, $P(n)$ este adevărată pentru orice $n\ge 1$.
Atenție · Ambele etape sunt obligatorii
Fie $P(n)$: $1+2+\ldots+n=\frac{n^2+n+2}{2}$. Etapa a II-a funcționează: dacă $P(k)$ ar fi adevărată, atunci $\frac{k^2+k+2}{2}+(k+1)=\frac{(k+1)^2+(k+1)+2}{2}$. Dar $P(1)$ este falsă ($1\ne 2$), iar formula este falsă pentru orice $n$. Fără etapa I, „demonstrația” nu demonstrează nimic.
Invers: verificările pentru $n=1, 2, 3, \ldots$ nu înlocuiesc etapa a II-a. Exemplele nu demonstrează.
Firul logic: de la sumă la formulă demonstrată
★ Cel mai important
Acesta este miezul rezolvării. Urmează pașii în această ordine, la fiecare problemă cu sume.
- Scriu suma cu Σ
- Desfac termenul general
- Aplic (P1), (P2) și (S1)–(S4)
- Verific pentru n = 1 și n = 2
- Demonstrez prin inducție
Probleme pe niveluri
La fiecare problemă scrie pașii, nu doar rezultatul: ce proprietate sau ce sumă remarcabilă folosești. Demonstrațiile prin inducție se redactează complet, cu ambele etape.
Nivel de bază
-
Scrie desfășurat, apoi calculează:
a) $\sum_{k=1}^{5}{k}$;
b) $\sum_{k=1}^{4}{(2k+3)}$;
c) $\sum_{k=2}^{5}{k^2}$;
d) $\sum_{k=1}^{6}{4}$;
e) $\sum_{k=1}^{4}{\left(-1\right)^k\cdot k}$.
-
Câți termeni are fiecare sumă?
a) $\sum_{k=1}^{20}{a_k}$;
b) $\sum_{k=5}^{30}{a_k}$;
c) $\sum_{k=0}^{n}{a_k}$.
-
Scrie cu simbolul Σ, după ce afli termenul general:
a) $2+4+6+\ldots+40$;
b) $1+4+9+\ldots+100$;
c) $3+7+11+\ldots+(4n-1)$;
d) $\frac{1}{1\cdot 2}+\frac{1}{2\cdot 3}+\ldots+\frac{1}{n(n+1)}$.
-
Calculează, folosind sumele remarcabile:
a) $1+2+\ldots+50$;
b) $1^2+2^2+\ldots+12^2$;
c) $1^3+2^3+\ldots+6^3$;
d) $\sum_{k=1}^{15}{3}$.
-
Calculează, folosind proprietățile sumelor:
a) $\sum_{k=1}^{20}{(3k+2)}$;
b) $\sum_{k=1}^{10}{(k^2-k)}$;
c) $\sum_{k=1}^{n}{(4k-1)}$.
-
Demonstrează prin inducție matematică că, pentru orice $n\in \N^*$:
a) $1+2+\ldots+n=\frac{n(n+1)}{2}$;
b) $1+3+5+\ldots+(2n-1)=n^2$.
Nivel consolidat
-
Scrie cu Σ, apoi calculează:
a) $1+5+9+\ldots+(4n-3)$;
b) $1\cdot 4+2\cdot 5+\ldots+n(n+3)$;
c) $1^2+3^2+5^2+\ldots+(2n-1)^2$.
-
Fie $S_n=1\cdot 3+2\cdot 4+3\cdot 5+\ldots+n(n+2)$.
a) Calculează $S_n$, folosind proprietățile și sumele remarcabile.
b) Demonstrează prin inducție formula obținută la a).
-
Calculează, folosind proprietatea (P3):
a) $\sum_{k=21}^{40}{k}$;
b) $\sum_{k=6}^{15}{k^2}$;
c) $\sum_{k=n+1}^{2n}{k}$.
-
Demonstrează prin inducție matematică că, pentru orice $n\in \N^*$:
a) $1^2+2^2+\ldots+n^2=\frac{n(n+1)(2n+1)}{6}$;
b) $1^3+2^3+\ldots+n^3=\left(\frac{n(n+1)}{2}\right)^2$.
-
Determină numărul natural nenul $n$ pentru care:
a) $1+2+\ldots+n=210$;
b) $1^3+2^3+\ldots+n^3=3025$.
Nivel avansat
-
Sumă telescopică.
a) Verifică egalitatea $\frac{1}{k(k+1)}=\frac{1}{k}-\frac{1}{k+1}$.
b) Calculează $\sum_{k=1}^{n}{\frac{1}{k(k+1)}}$. Indicație: scrie desfășurat și urmărește ce se reduce.
c) Demonstrează prin inducție rezultatul de la b).
-
Fie $T_n=\sum_{k=1}^{n}{k(k+1)(k+2)}$.
a) Calculează $T_n$ și scrie rezultatul ca produs de factori.
b) Demonstrează prin inducție formula obținută.
c) Compară cu $\sum_{k=1}^{n}{k}=\frac{n(n+1)}{2}$ și cu $\sum_{k=1}^{n}{k(k+1)}=\frac{n(n+1)(n+2)}{3}$. Ce regulă observi? Ce formulă propui pentru $\sum_{k=1}^{n}{k(k+1)(k+2)(k+3)}$?
-
Demonstrează prin inducție că $1+2\cdot 2+3\cdot 2^2+\ldots+n\cdot 2^{n-1}=(n-1)\cdot 2^n+1$, pentru orice $n\in \N^*$.
-
Găsește greșeala. Un elev scrie: „Fie $P(n)$: $2+4+\ldots+2n=n^2+n+1$. Presupun $P(k)$. Atunci $2+4+\ldots+2k+2(k+1)=k^2+k+1+2k+2=(k+1)^2+(k+1)+1$, deci $P(k+1)$ este adevărată. Prin urmare, formula este adevărată pentru orice $n$.”
a) Verifică formula pentru $n=1$.
b) Ce etapă lipsește?
c) Care este formula corectă? Demonstreaz-o.
-
Provocare. Demonstrează prin inducție că, pentru orice $n\in \N^*$:
$$1+\frac{1}{2^2}+\frac{1}{3^2}+\ldots+\frac{1}{n^2}\le 2-\frac{1}{n}$$
Ce poți spune despre suma $1+\frac{1}{2^2}+\ldots+\frac{1}{100^2}$?