Reține
- $M$ este majorant al lui $A$ dacă $x \leq M,\mkern9mu\forall x \in A$; $m$ este minorant al lui $A$ dacă $m \leq x,\mkern9mu\forall x \in A$.
- $\sup A$ = cel mai mic majorant al lui $A$; $\inf A$ = cel mai mare minorant al lui $A$.
- $s = \sup A \Leftrightarrow$ (1) $x \leq s,\mkern9mu\forall x \in A$ și (2) $\forall\varepsilon > 0,\mkern9mu\exists x_{\varepsilon} \in A$ astfel încât $x_{\varepsilon} > s - \varepsilon$.
- $i = \inf A \Leftrightarrow$ (1) $x \geq i,\mkern9mu\forall x \in A$ și (2) $\forall\varepsilon > 0,\mkern9mu\exists x_{\varepsilon} \in A$ astfel încât $x_{\varepsilon} < i + \varepsilon$.
- $A$ are maxim $\Leftrightarrow \sup A \in A$ și atunci $\max A = \sup A$. Dacă $A$ nu este majorată, $\sup A = + \infty$; dacă $A$ nu este minorată, $\inf A = - \infty$.
-
Scrieți sub formă de interval sau de reuniune de intervale mulțimile următoare și precizați care dintre ele sunt mărginite:
a) $A = \left\{ x \in {\mathbb{R}}\mkern6mu \middle| \mkern6mu|x - 1| \leq 3 \right\}$;
b) $B = \left\{ x \in {\mathbb{R}}\mkern6mu \middle| \mkern6mu x^{2} - 4x + 3 < 0 \right\}$;
c) $C = \left\{ x \in {\mathbb{R}}\mkern6mu \middle| \mkern6mu|2x + 1| > 5 \right\}$.
-
Completați tabelul (scrieți „da”/„nu”, valoarea cerută sau „nu există”):
Mulțimea majorată? minorată? min max inf sup $A = \lbrack - 2,5)$ $B = \left\{ \frac{1}{n}\mkern6mu \middle| \mkern6mu n \in {\mathbb{N}}^{*} \right\}$ $C = \left\{ ( - 1)^{n}\mkern6mu \middle| \mkern6mu n \in {\mathbb{N}} \right\}$ $D = (0, + \infty)$ $E = {\mathbb{Z}} \cap ( - 3,2\rbrack$ -
Se consideră mulțimea $A = \left\{ \frac{2n + 3}{n + 1}\mkern6mu \middle| \mkern6mu n \in {\mathbb{N}} \right\}$.
a) Arătați că $\frac{2n + 3}{n + 1} = 2 + \frac{1}{n + 1}$, pentru orice $n \in {\mathbb{N}}$.
b) Arătați că $2 < x \leq 3$, pentru orice $x \in A$.
c) Determinați $\max A$.
d) Arătați, folosind caracterizarea cu $\varepsilon$, că $\inf A = 2$. Are mulțimea $A$ minim?
-
Arătați că mulțimea $A = \left\{ \frac{x}{x^{2} + 1}\mkern6mu \middle| \mkern6mu x \in {\mathbb{R}} \right\}$ este mărginită și determinați $\min A$ și $\max A$.
Indicație: $x^{2} + 1 \geq 2|x|$, pentru orice $x \in {\mathbb{R}}$.
-
(opțional) Determinați $\inf A$ și $\sup A$ pentru $A = \left\{ ( - 1)^{n} + \frac{1}{n}\mkern6mu \middle| \mkern6mu n \in {\mathbb{N}}^{*} \right\}$. Precizați dacă mulțimea $A$ are minim, respectiv maxim.