1. Intervale
Fie $a,b \in {\mathbb{R}}$, $a < b$.
| Tipul intervalului | Scriere |
|---|---|
| mărginite (lungime $\ell = b - a$) | $\lbrack a,b\rbrack = \left\{ x \in {\mathbb{R}}\mkern6mu \middle| \mkern6mu a \leq x \leq b \right\}$, $(a,b) = \left\{ x \in {\mathbb{R}}\mkern6mu \middle| \mkern6mu a < x < b \right\}$, $\lbrack a,b)$, $(a,b\rbrack$ |
| nemărginite | $\lbrack a, + \infty) = \left\{ x \in {\mathbb{R}}\mkern6mu \middle| \mkern6mu x \geq a \right\}$, $(a, + \infty)$, $( - \infty,a\rbrack$, $( - \infty,a)$, $( - \infty, + \infty) = {\mathbb{R}}$ |
Reține
Pentru $r > 0$:
$$|x - a| < r \Leftrightarrow x \in (a - r,a + r)$$
$$|x - a| \leq r \Leftrightarrow x \in \lbrack a - r,a + r\rbrack$$
$$|x - a| > r \Leftrightarrow x \in ( - \infty,a - r) \cup (a + r, + \infty)$$
2. Mulțimi mărginite. Minim și maxim
Fie $A \subset {\mathbb{R}}$, $A \neq \varnothing$.
Definiții
- $M \in {\mathbb{R}}$ este majorant al lui $A$ dacă $x \leq M,\mkern9mu\forall x \in A$; $A$ este majorată dacă are cel puțin un majorant.
- $m \in {\mathbb{R}}$ este minorant al lui $A$ dacă $m \leq x,\mkern9mu\forall x \in A$; $A$ este minorată dacă are cel puțin un minorant.
- $A$ este mărginită dacă este majorată și minorată $\Leftrightarrow \exists M > 0$ astfel încât $|x| \leq M,\mkern9mu\forall x \in A$.
- $\max A$ este un element al lui $A$ care este majorant; $\min A$ este un element al lui $A$ care este minorant.
- $A$ nu este majorată $\Leftrightarrow \forall M \in {\mathbb{R}},\mkern9mu\exists x \in A$ astfel încât $x > M$.
- Exemplu: $A = (0,1\rbrack$ este mărginită, $\max A = 1$, dar $A$ nu are minim.
3. Marginile unei mulțimi
Definiții
- $\sup A$ (marginea superioară) = cel mai mic majorant al lui $A$.
- $\inf A$ (marginea inferioară) = cel mai mare minorant al lui $A$.
- Axioma lui Cantor: orice mulțime nevidă și majorată de numere reale are margine superioară în $\mathbb{R}$ (analog, orice mulțime nevidă și minorată are margine inferioară).
Caracterizarea cu $\varepsilon$
$$s = \sup A \Leftrightarrow \text{ (1) }x \leq s,\mkern9mu\forall x \in A\mkern9mu\text{ și (2) }\forall\varepsilon > 0,\mkern9mu\exists x_{\varepsilon} \in A:\mkern9mu x_{\varepsilon} > s - \varepsilon$$
$$i = \inf A \Leftrightarrow \text{ (1) }x \geq i,\mkern9mu\forall x \in A\mkern9mu\text{ și (2) }\forall\varepsilon > 0,\mkern9mu\exists x_{\varepsilon} \in A:\mkern9mu x_{\varepsilon} < i + \varepsilon$$
- $A$ are maxim $\Leftrightarrow \sup A \in A$ și atunci $\max A = \sup A$; $A$ are minim $\Leftrightarrow \inf A \in A$ și atunci $\min A = \inf A$.
Maxim sau margine superioară?
| $\max A$ | $\sup A$ | |
|---|---|---|
| Ce este | cel mai mare element al lui $A$ | cel mai mic majorant al lui $A$ |
| Aparține lui $A$? | da, întotdeauna | nu neapărat |
| Există? | nu întotdeauna (ex. $(0,1)$) | da, dacă $A$ este majorată |
Exemplu rezolvat
$A = \left\{ \frac{n}{n + 1}\mkern6mu \middle| \mkern6mu n \in {\mathbb{N}} \right\}$.
- Cum $\frac{n}{n + 1} = 1 - \frac{1}{n + 1}$, avem $0 \leq x < 1,\mkern9mu\forall x \in A$.
- $0 \in A$ (pentru $n = 0$) și $0$ este minorant $\Rightarrow \min A = \inf A = 0$.
- $1$ este majorant; pentru $\varepsilon \in (0,1)$: $\frac{n}{n + 1} > 1 - \varepsilon \Leftrightarrow n > \frac{1}{\varepsilon} - 1$, care are soluții în $\mathbb{N}$ $\Rightarrow \sup A = 1$.
- $1 \notin A$ $\Rightarrow$ $A$ nu are maxim.
4. Dreapta încheiată
Reține
- $\overline{\mathbb{R}} = {\mathbb{R}} \cup \left\{ - \infty, + \infty \right\}$, cu $- \infty < x < + \infty,\mkern9mu\forall x \in {\mathbb{R}}$.
- Dacă $A$ nu este majorată: $\sup A = + \infty$. Dacă $A$ nu este minorată: $\inf A = - \infty$.
- Exemple: $\sup{\mathbb{N}} = + \infty$, $\inf{\mathbb{N}} = \min{\mathbb{N}} = 0$; $\inf{\mathbb{Z}} = - \infty$; $\inf(1, + \infty) = 1$, $\sup(1, + \infty) = + \infty$.