-
Scrieți sub formă de interval sau de reuniune de intervale mulțimile:
a) $A = \left\{ x \in {\mathbb{R}}\mkern6mu \middle| \mkern6mu|x + 2| < 4 \right\}$;
b) $B = \left\{ x \in {\mathbb{R}}\mkern6mu \middle| \mkern6mu|3 - x| \geq 1 \right\}$;
c) $C = \left\{ x \in {\mathbb{R}}\mkern6mu \middle| \mkern6mu x^{2} - x - 6 \leq 0 \right\}$;
d) $D = \left\{ x \in {\mathbb{R}}\mkern6mu \middle| \mkern6mu\frac{x - 1}{x + 2} \leq 0 \right\}$.
-
Se consideră intervalele $I = \lbrack - 3,5)$ și $J = (1,7\rbrack$. Determinați $I \cup J$, $I \cap J$, $I \smallsetminus J$, ${\mathbb{R}} \smallsetminus I$ și lungimea intervalului $I \cap J$.
-
Determinați, dacă există, minimul, maximul, marginea inferioară și marginea superioară ale mulțimilor:
a) $A = \left\{ 1 - \frac{1}{n}\mkern6mu \middle| \mkern6mu n \in {\mathbb{N}}^{*} \right\}$;
b) $B = \left\{ \frac{( - 1)^{n}}{n}\mkern6mu \middle| \mkern6mu n \in {\mathbb{N}}^{*} \right\}$;
c) $C = \left\{ \frac{1}{2^{n}}\mkern6mu \middle| \mkern6mu n \in {\mathbb{N}} \right\}$;
d) $D = ( - 1,3\rbrack \cup \left\{ 5 \right\}$;
e) $E = \left\{ n^{2} - 3n\mkern6mu \middle| \mkern6mu n \in {\mathbb{N}} \right\}$.
-
Se consideră mulțimea $A = \left\{ \frac{3n - 1}{n + 2}\mkern6mu \middle| \mkern6mu n \in {\mathbb{N}} \right\}$.
a) Arătați că $\frac{3n - 1}{n + 2} = 3 - \frac{7}{n + 2}$, pentru orice $n \in {\mathbb{N}}$.
b) Determinați $\min A$.
c) Arătați, folosind caracterizarea cu $\varepsilon$, că $\sup A = 3$.
d) Are mulțimea $A$ maxim? Justificați.
-
Arătați că mulțimea $A = \left\{ \frac{x^{2} + 1}{x^{2} + x + 1}\mkern6mu \middle| \mkern6mu x \in {\mathbb{R}} \right\}$ este mărginită și determinați $\min A$ și $\max A$.
Indicație: $y \in A \Leftrightarrow$ ecuația $(y - 1)x^{2} + yx + (y - 1) = 0$ are cel puțin o soluție reală.
-
Determinați $m \in {\mathbb{R}}$ pentru care mulțimea $A = \left\{ x \in {\mathbb{R}}\mkern6mu \middle| \mkern6mu x^{2} - (m + 1)x + m \leq 0 \right\}$ este un interval de lungime $3$.
-
Stabiliți dacă mulțimile următoare sunt mărginite și determinați marginile lor:
a) $A = \left\{ \sqrt{n + 1} - \sqrt{n}\mkern6mu \middle| \mkern6mu n \in {\mathbb{N}} \right\}$;
b) $B = \left\{ n + \frac{1}{n}\mkern6mu \middle| \mkern6mu n \in {\mathbb{N}}^{*} \right\}$;
c) $C = \left\{ \sin x + \cos x\mkern6mu \middle| \mkern6mu x \in {\mathbb{R}} \right\}$.
-
Stabiliți valoarea de adevăr a propozițiilor următoare; justificați răspunsul (demonstrație sau contraexemplu):
a) Orice mulțime mărginită de numere reale are maxim.
b) Dacă o mulțime $A$ are maxim, atunci $\sup A = \max A$.
c) Dacă $\sup A \notin A$, atunci mulțimea $A$ nu are maxim.
d) Orice submulțime nevidă a lui $\mathbb{N}$ are minim.
e) Mulțimea $\left\{ x \in {\mathbb{Q}}\mkern6mu \middle| \mkern6mu x^{2} < 2 \right\}$ are margine superioară care aparține lui $\mathbb{Q}$.
-
(facultativ) Fie $A,B \subset {\mathbb{R}}$ două mulțimi nevide și mărginite și $A + B = \left\{ a + b\mkern6mu \middle| \mkern6mu a \in A,\mkern9mu b \in B \right\}$. Arătați că $\sup(A + B) = \sup A + \sup B$.