Fișă de lucru

Fișă de lucru: vecinătăți și puncte de acumulare

Publicat · de

Deschide PDF

Rezumat

O mulțime este vecinătate a unui punct dacă prinde un interval deschis în jurul lui, iar pentru $+\infty$ sau $-\infty$ trebuie să prindă o semidreaptă. Un punct de acumulare atrage puncte ale mulțimii în orice vecinătate a lui; un punct izolat rămâne singur într-o vecinătate mică. Fișa exersează vecinătățile și clasificarea punctelor.

Apasă «Verifică» lângă un exercițiu. Răspunsurile rămân pe acest dispozitiv.

Reține

  • $V$ este vecinătate a lui $x_{0} \in {\mathbb{R}}$ dacă $\exists\varepsilon > 0$ astfel încât $\left( x_{0} - \varepsilon,x_{0} + \varepsilon \right) \subset V$.
  • $V$ este vecinătate a lui $+ \infty$ dacă $\exists a \in {\mathbb{R}}$: $(a, + \infty) \subset V$; a lui $- \infty$ dacă $\exists a \in {\mathbb{R}}$: $( - \infty,a) \subset V$.
  • $x_{0} \in \overline{\mathbb{R}}$ este punct de acumulare al lui $A$ dacă orice vecinătate a lui $x_{0}$ conține un punct din $A$ diferit de $x_{0}$. $A'$ = mulțimea punctelor de acumulare.
  • $a \in A$ este punct izolat al lui $A$ dacă $a \notin A'$.

  1. Stabiliți care dintre mulțimile următoare sunt vecinătăți ale punctului $x_{0} = 2$; justificați.

    a) $V_{1} = (1,3)$;

    b) $V_{2} = \lbrack 2,5\rbrack$;

    c) $V_{3} = (0,4\rbrack \smallsetminus \left\{ 3 \right\}$;

    d) $V_{4} = {\mathbb{Z}}$;

    e) $V_{5} = \left( - \infty,2 + \frac{1}{100} \right)$;

    f) $V_{6} = {\mathbb{R}} \smallsetminus \left\{ 2 \right\}$.

  2. Care dintre mulțimile următoare sunt vecinătăți ale lui $+ \infty$?

    a) $(5, + \infty)$;

    b) $\mathbb{N}$;

    c) $\lbrack - 3, + \infty) \smallsetminus \left\{ 10 \right\}$;

    d) ${\mathbb{R}} \smallsetminus \lbrack 0,1\rbrack$;

    e) $( - \infty,100)$.

  3. Determinați mulțimea punctelor de acumulare $A'$ și punctele izolate ale mulțimii $A$:

    a) $A = \lbrack - 1,3)$;

    b) $A = (0,1) \cup \left\{ 2,3 \right\}$;

    c) $A = \left\{ \frac{1}{n}\mkern6mu \middle| \mkern6mu n \in {\mathbb{N}}^{*} \right\}$;

    d) $A = {\mathbb{Z}}$;

    e) $A = \left\{ 1,2,3 \right\}$.

  4. Determinați $a \in {\mathbb{R}}$ pentru care mulțimea $V = (a - 2,2a + 1)$ este vecinătate a lui $3$.

  5. (opțional) Fie $A = \left\{ \frac{( - 1)^{n}}{n}\mkern6mu \middle| \mkern6mu n \in {\mathbb{N}}^{*} \right\}$. Arătați, folosind definiția, că $0$ este punct de acumulare al lui $A$ și determinați $A'$.

Întrebări frecvente

Este orice interval deschis o vecinătate a fiecărui punct al său?

Da. Dacă $x_0 \in (a, b)$, poți alege un interval mic $(x_0 - d, x_0 + d)$ inclus în $(a, b)$, luând $d$ mai mic decât distanțele până la capete. Tocmai de aceea definiția vecinătății cere un interval deschis în jurul punctului, nu neapărat centrat pe el.

Poate un punct izolat să fie și punct de acumulare?

Nu, cele două noțiuni se exclud: un punct izolat al lui $A$ are o vecinătate fără alte puncte din $A$, pe când un punct de acumulare găsește puncte din $A$ în fiecare vecinătate. Un punct al lui $A$ este fie de acumulare, fie izolat, fără cale de mijloc.