Problemele 1–8 sunt obligatorii; problema 9 este facultativă.
-
Stabiliți care dintre mulțimile următoare sunt vecinătăți ale punctului $x_{0} = - 1$:
a) $( - 2,0)$;
b) $\lbrack - 1,1\rbrack$;
c) $( - 3,1) \smallsetminus \left\{ 0 \right\}$;
d) $\mathbb{Q}$;
e) ${\mathbb{R}} \smallsetminus {\mathbb{Z}}$.
-
Care dintre mulțimile următoare sunt vecinătăți ale lui $- \infty$?
a) $( - \infty, - 100)$;
b) $\mathbb{Z}$;
c) ${\mathbb{R}} \smallsetminus \lbrack - 1,1\rbrack$;
d) $( - \infty,0) \cap {\mathbb{Q}}$.
-
Determinați $m \in {\mathbb{R}}$ pentru care intervalul $V = \left( m - 1,m^{2} + 1 \right)$ este vecinătate a lui $2$.
-
Determinați mulțimea punctelor de acumulare și punctele izolate pentru:
a) $A = ( - 2,1\rbrack \cup \left\{ 3 \right\}$;
b) $B = \left\{ \frac{n}{n + 1}\mkern6mu \middle| \mkern6mu n \in {\mathbb{N}} \right\}$;
c) $C = {\mathbb{N}}$;
d) $D = \left\{ x \in {\mathbb{R}}\mkern6mu \middle| \mkern6mu x^{2} - 5x + 4 \leq 0 \right\} \cup \left\{ 6 \right\}$;
e) $E = (0, + \infty)$;
f) $F = \left\{ ( - 1)^{n} + \frac{1}{n}\mkern6mu \middle| \mkern6mu n \in {\mathbb{N}}^{*} \right\}$.
-
a) Arătați că, dacă $V_{1}$ și $V_{2}$ sunt vecinătăți ale lui $+ \infty$, atunci $V_{1} \cap V_{2}$ este vecinătate a lui $+ \infty$.
b) Arătați că mulțimile $V_{n} = \left( - \frac{1}{n},\frac{1}{n} \right)$, $n \in {\mathbb{N}}^{*}$, sunt vecinătăți ale lui $0$, dar intersecția tuturor acestor mulțimi nu este vecinătate a lui $0$.
-
Fie $A = \left\{ \frac{2n - 1}{n + 1}\mkern6mu \middle| \mkern6mu n \in {\mathbb{N}} \right\}$. Determinați $\min A$, $\sup A$ și $A'$.
-
Arătați că $+ \infty$ este punct de acumulare al mulțimii $A \subset {\mathbb{R}}$ dacă și numai dacă $A$ nu este majorată. Aplicație: arătați că $+ \infty \in A'$ pentru $A = \left\{ n^{2} - 3n\mkern6mu \middle| \mkern6mu n \in {\mathbb{N}} \right\}$.
-
Stabiliți valoarea de adevăr a propozițiilor următoare; justificați:
a) Orice punct de acumulare al unei mulțimi aparține mulțimii.
b) O mulțime finită nu are puncte de acumulare.
c) Orice punct al intervalului $(a,b)$ este punct de acumulare al acestui interval.
d) Mulțimea $\mathbb{Z}$ este vecinătate a lui $0$.
e) Dacă $V$ este vecinătate a lui $x_{0}$ și $W \subset {\mathbb{R}}$ este o mulțime oarecare, atunci $V \cup W$ este vecinătate a lui $x_{0}$.
-
(facultativ) Arătați că $x_{0} \in {\mathbb{R}}$ este punct de acumulare al mulțimii $A$ dacă și numai dacă orice vecinătate a lui $x_{0}$ conține o infinitate de elemente ale lui $A$.