1. Vecinătăți ale unui punct din ℝ
Definiție
Fie $x_{0} \in {\mathbb{R}}$. O mulțime $V \subset {\mathbb{R}}$ se numește vecinătate a lui $x_{0}$ dacă există $\varepsilon > 0$ astfel încât $\left( x_{0} - \varepsilon,x_{0} + \varepsilon \right) \subset V$. Notăm cu $\mathcal{V}\left( x_{0} \right)$ mulțimea vecinătăților lui $x_{0}$.
- Echivalent: $V \in \mathcal{V}\left( x_{0} \right) \Leftrightarrow \exists a,b \in {\mathbb{R}}$, $a < x_{0} < b$, astfel încât $(a,b) \subset V$.
Exemple. $\left( x_{0} - 1,x_{0} + 1 \right)$, $\left\lbrack x_{0} - 1,x_{0} + 2 \right\rbrack$, $\mathbb{R}$ sunt vecinătăți ale lui $x_{0}$; $\left\lbrack x_{0},x_{0} + 1 \right)$ nu este vecinătate a lui $x_{0}$ (nu conține niciun interval centrat în $x_{0}$). Mulțimea $V = \lbrack 1,3) \cup \left\{ 5 \right\}$ este vecinătate a lui $2$, dar nu este vecinătate a lui $1$, a lui $3$ sau a lui $5$. Mulțimile $\mathbb{N}$, $\mathbb{Z}$, $\mathbb{Q}$ nu sunt vecinătăți ale niciunui punct.
2. Vecinătăți ale lui +∞ și −∞
Definiții
- $V \subset {\mathbb{R}}$ este vecinătate a lui $+ \infty$ dacă există $a \in {\mathbb{R}}$ astfel încât $(a, + \infty) \subset V$.
- $V \subset {\mathbb{R}}$ este vecinătate a lui $- \infty$ dacă există $a \in {\mathbb{R}}$ astfel încât $( - \infty,a) \subset V$.
Exemple. $(5, + \infty)$, $\lbrack 0, + \infty)$, ${\mathbb{R}} \smallsetminus \lbrack 0,1\rbrack$ sunt vecinătăți ale lui $+ \infty$; $\mathbb{N}$ nu este vecinătate a lui $+ \infty$.
3. Proprietățile vecinătăților
Fie $x_{0} \in \overline{\mathbb{R}}$.
(1) Dacă $x_{0} \in {\mathbb{R}}$ și $V \in \mathcal{V}\left( x_{0} \right)$, atunci $x_{0} \in V$.
(2) Dacă $V \in \mathcal{V}\left( x_{0} \right)$ și $V \subset W$, atunci $W \in \mathcal{V}\left( x_{0} \right)$.
(3) Dacă $V_{1},V_{2} \in \mathcal{V}\left( x_{0} \right)$, atunci $V_{1} \cap V_{2} \in \mathcal{V}\left( x_{0} \right)$. Demonstrație ($x_{0} \in {\mathbb{R}}$): dacă $\left( x_{0} - \varepsilon_{1},x_{0} + \varepsilon_{1} \right) \subset V_{1}$ și $\left( x_{0} - \varepsilon_{2},x_{0} + \varepsilon_{2} \right) \subset V_{2}$, pentru $\varepsilon = \min\left\{ \varepsilon_{1},\varepsilon_{2} \right\}$ avem $\left( x_{0} - \varepsilon,x_{0} + \varepsilon \right) \subset V_{1} \cap V_{2}$.
(4) Proprietatea de separare: dacă $x_{0},y_{0} \in \overline{\mathbb{R}}$, $x_{0} \neq y_{0}$, există $U \in \mathcal{V}\left( x_{0} \right)$ și $W \in \mathcal{V}\left( y_{0} \right)$ cu $U \cap W = \varnothing$. (Pentru $x_{0},y_{0} \in {\mathbb{R}}$ se ia $\varepsilon = \frac{\left| x_{0} - y_{0} \right|}{2}$.)
4. Puncte de acumulare. Puncte izolate
Fie $A \subset {\mathbb{R}}$ și $x_{0} \in \overline{\mathbb{R}}$.
Definiții
- $x_{0}$ este punct de acumulare al mulțimii $A$ dacă orice vecinătate a lui $x_{0}$ conține cel puțin un punct din $A$, diferit de $x_{0}$:
$$V \cap \left( A \smallsetminus \left\{ x_{0} \right\} \right) \neq \varnothing,\mkern9mu\forall V \in \mathcal{V}\left( x_{0} \right).$$
Pentru $x_{0} \in {\mathbb{R}}$: $x_{0} \in A' \Leftrightarrow \forall\varepsilon > 0,\mkern9mu\left( x_{0} - \varepsilon,x_{0} + \varepsilon \right) \cap \left( A \smallsetminus \left\{ x_{0} \right\} \right) \neq \varnothing$.
- $A'$ – mulțimea punctelor de acumulare ale lui $A$ (mulțimea derivată a lui $A$).
- Un punct $a \in A$ care nu este punct de acumulare al lui $A$ se numește punct izolat al lui $A$: există $V \in \mathcal{V}(a)$ cu $V \cap A = \left\{ a \right\}$.
Exemple.
- $A = (0,1\rbrack$: $A' = \lbrack 0,1\rbrack$; $0 \in A'$, deși $0 \notin A$; $A$ nu are puncte izolate.
- $A = {\mathbb{N}}$: $A' = \left\{ + \infty \right\}$; toate punctele lui $\mathbb{N}$ sunt izolate.
- $A = \left\{ \frac{1}{n}\mkern6mu \middle| \mkern6mu n \in {\mathbb{N}}^{*} \right\}$: $A' = \left\{ 0 \right\}$, deoarece pentru orice $\varepsilon > 0$ există $n > \frac{1}{\varepsilon}$, deci $\frac{1}{n} \in ( - \varepsilon,\varepsilon)$; toate punctele lui $A$ sunt izolate.
- $A = (0,1) \cup \left\{ 2 \right\}$: $A' = \lbrack 0,1\rbrack$, iar $2$ este punct izolat.
Observații: o mulțime finită nu are puncte de acumulare; $+ \infty \in A' \Leftrightarrow A$ nu este majorată; $- \infty \in A' \Leftrightarrow A$ nu este minorată. Limita unei funcții $f:D \rightarrow {\mathbb{R}}$ se va studia în punctele de acumulare ale lui $D$.